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100 temas de matemáticas, de sumar a derivadas e integrales. Cada uno tiene teoría clara, ejemplos resueltos y ejercicios que se corrigen paso a paso.
Nivel 0 · Cimientos
Los números naturales y las cuatro operaciones. Es la base de todo lo demás, y si estás oxidado, el mejor sitio para empezar.
- Los números y el sistema decimal
Cómo funcionan los números que usamos cada día - por qué el 5 de 507 no vale lo mismo que el de 705 - y cómo leerlos, ordenarlos y redondearlos. - Sumar
La suma en columna y por qué funcionan las "llevadas", sus propiedades, trucos de cálculo mental y cómo estimar y comprobar un resultado. - Restar
Restar en columna con seguridad (y por qué funciona lo de "pedir prestado"), la resta como quitar, comparar o completar, y cómo comprobar el resultado con la suma. - Multiplicar
Qué significa multiplicar, las tablas y sus trucos, la propiedad distributiva (la que explica cómo funciona la multiplicación en columna) y cómo multiplicar de cabeza. - Dividir
Dividir como repartir, agrupar y deshacer una multiplicación; la división larga entendiendo por qué se "baja la cifra"; el resto, y qué hacer con él en los problemas. - Conjuntos
Qué es un conjunto, cómo se escribe, y las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento con diagramas de Venn, incluido cómo resolver problemas de encuestas. - Orden de las operaciones y paréntesis
Qué operación se hace primero cuando hay varias juntas, cómo usar paréntesis, corchetes y llaves, y cómo pasar una frase a una operación sin equivocarse. - Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad
Qué son los múltiplos y los divisores, cómo encontrarlos todos sin olvidar ninguno, y los criterios para saber si un número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 u 11 sin hacer la división. - Números primos y descomposición en factores
Qué son los números primos, cómo saber si un número es primo, y cómo descomponer cualquier número en producto de primos (la "huella dactilar" de cada número). - Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Qué son el MCD y el MCM, tres formas de calcularlos (listas, factores primos y algoritmo de Euclides) y, sobre todo, cómo saber en un problema cuál de los dos hay que usar. - Problemas con las cuatro operaciones
Un método para resolver cualquier problema de texto (leer, planear, calcular, comprobar), y estrategias clave - dibujar, trabajar hacia atrás, datos que sobran y problemas de varios pasos.
Nivel 1 · Números
Números negativos, fracciones, decimales, porcentajes y proporciones. Las herramientas del día a día, y lo que más se necesita para ayudar con los deberes.
- Números enteros - positivos y negativos
Qué son los números negativos y para qué sirven, la recta numérica, el opuesto y el valor absoluto de un número, y cómo comparar y ordenar enteros. - Operaciones con números enteros
Sumar, restar, multiplicar y dividir con números negativos - por qué "menos por menos es más", cómo quitar paréntesis y cómo resolver operaciones combinadas sin perder un signo. - ¿Qué es una fracción?
Qué significa realmente una fracción (partes de un todo, una división y un punto en la recta), cómo leerla, calcular la fracción de una cantidad y pasar entre fracciones impropias y números mixtos. - Fracciones equivalentes, simplificar y comparar
Por qué fracciones con números distintos pueden valer lo mismo, cómo amplificar y simplificar, cómo saber si dos fracciones son equivalentes y cómo comparar y ordenar fracciones con distinto denominador. - Sumar y restar fracciones
Cómo sumar y restar fracciones con el mismo y con distinto denominador (por qué hace falta el común denominador), con números mixtos y en problemas de la vida real. - Multiplicar y dividir fracciones
Cómo multiplicar y dividir fracciones entendiendo lo que significan (una fracción "de" otra y cuántas veces cabe una en otra), simplificar antes de multiplicar, la fracción inversa y problemas. - Operaciones combinadas con fracciones
Cómo resolver expresiones que mezclan sumas, restas, productos y divisiones de fracciones respetando la jerarquía, con fracciones negativas, fracciones apiladas y problemas de varios pasos. - Números decimales
Cómo funcionan los decimales (décimas, centésimas, milésimas), cómo leerlos, compararlos, redondearlos y operar con ellos - alinear la coma al sumar, contar decimales al multiplicar y dividir sin miedo. - De fracción a decimal y de decimal a fracción
Cómo convertir una fracción en decimal (exacto o periódico), saber de antemano de qué tipo será, y cómo escribir como fracción cualquier decimal, incluidos los periódicos. - Porcentajes
Qué es un porcentaje, cómo calcular el tanto por ciento de una cantidad con trucos mentales, aumentos y descuentos (IVA, rebajas), qué porcentaje es una cantidad de otra y cómo averiguar el total. - Razones y proporciones
Qué es una razón y una proporción, la propiedad fundamental (extremos por medios), cómo distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales, escalas de mapas y repartos proporcionales. - Regla de tres directa e inversa
El método de la regla de tres simple (directa e inversa) y de la regla de tres compuesta, con una estrategia para no confundir cuándo multiplicar en cruz y cuándo en línea. - Potencias
Qué es una potencia, cómo se calculan (y por qué 2³ no es 6), el signo con bases negativas, las propiedades para multiplicar y dividir potencias, exponente cero y negativo, y potencias de 10. - Raíces
Qué es una raíz cuadrada y una raíz cúbica (la operación contraria de la potencia), cómo aproximar raíces que no son exactas, y las propiedades básicas para operar y simplificar radicales. - Notación científica
Cómo escribir números muy grandes o muy pequeños con potencias de 10, pasar entre notación decimal y científica, comparar y operar (multiplicar, dividir y sumar) sin perderse con los ceros. - Conjuntos numéricos: N, Z, Q y R
El mapa completo de los números que hemos visto - naturales, enteros, racionales y reales -, por qué hizo falta ampliar cada uno, qué son los irracionales, y cómo escribir tramos de la recta con intervalos.
Nivel 2 · Álgebra
Aprender a manejar letras como si fueran números y a resolver ecuaciones. Es el gran salto conceptual y el que abre la puerta a todo lo demás.
- Del lenguaje normal al lenguaje algebraico
Por qué se usan letras en matemáticas, cómo traducir frases como "el doble de un número más 5" a expresiones con letras (y viceversa), y las trampas del orden en "menos que", "el cuadrado de la suma" y similares. - Expresiones algebraicas y valor numérico
Las partes de una expresión (término, coeficiente, parte literal, grado), cómo calcular su valor numérico sin equivocarte con los signos, y cómo simplificarla reuniendo términos semejantes y quitando paréntesis. - Monomios y polinomios
Qué es un polinomio y sus elementos, y cómo sumar, restar, multiplicar y dividir monomios y polinomios (incluida la división larga), con las reglas de los exponentes y los signos. - Productos notables
Las tres identidades que más se usan en álgebra - cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia - por qué son ciertas, cómo desarrollarlas sin errores y cómo usarlas para calcular de cabeza. - Factorización de polinomios
Convertir sumas en productos - factor común, agrupación, identidades notables al revés, trinomios y regla de Ruffini - con una estrategia clara para no perderte. - Ecuaciones de primer grado
Qué es una ecuación, la regla de la balanza y un método paso a paso para resolver cualquier ecuación lineal - con paréntesis, con fracciones, sin solución o con infinitas. - Despejar en fórmulas
Aislar una letra en una fórmula (velocidad, temperatura, áreas, intereses…) usando la misma regla de la balanza que en las ecuaciones. - Problemas con ecuaciones
Traducir un problema escrito a una ecuación (el paso difícil), resolverla y comprobar en el enunciado - números, consecutivos, edades, dinero, movimiento, geometría, porcentajes y reparto. - Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones con dos incógnitas - qué significa la solución, los tres métodos (sustitución, igualación y reducción), cuándo no hay solución o hay infinitas, y problemas con dos incógnitas. - Inecuaciones
Desigualdades con incógnita - símbolos, recta numérica e intervalos, la regla del signo negativo, inecuaciones dobles, sistemas y problemas con límites (máximos y mínimos). - Fracciones algebraicas
Fracciones con letras - cuándo no están definidas, cómo simplificarlas factorizando, multiplicarlas, dividirlas, sumarlas y restarlas, y ecuaciones con denominadores (con la trampa de las soluciones falsas). - Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones con x al cuadrado - las incompletas, la fórmula general, el discriminante que dice cuántas soluciones hay, la relación entre suma y producto de las raíces y problemas (áreas, números) donde hay que descartar soluciones. - Otras ecuaciones: bicuadradas, racionales e irracionales
Ecuaciones de grado 4 con solo x⁴ y x² (cambio de variable), ecuaciones factorizables, ecuaciones con fracciones algebraicas y ecuaciones con raíces - con el método de cada una y la comprobación obligatoria de las soluciones. - Valor absoluto
El valor absoluto como distancia al cero - definición, propiedades, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto y aplicaciones como tolerancias y distancias.
Nivel 3 · Geometría
Medir, calcular áreas y volúmenes, triángulos, Pitágoras, semejanza, trigonometría básica y coordenadas.
- Unidades de medida y conversiones
El Sistema Métrico Decimal (longitud, masa, capacidad, superficie y volumen), cómo cambiar de unidad sin equivocarte, el tiempo en base 60, velocidades, temperaturas y unidades anglosajonas. - Ángulos
Qué es un ángulo y cómo se mide, sus tipos (agudo, recto, obtuso…), ángulos complementarios y suplementarios, opuestos por el vértice, ángulos entre paralelas y el sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos). - Triángulos
Elementos y clasificación de los triángulos, por qué sus ángulos suman 180°, el ángulo exterior, cuándo tres segmentos forman un triángulo (desigualdad triangular) y las rectas y puntos notables. - Cuadriláteros y polígonos
Polígonos y sus nombres, suma de ángulos interiores y exteriores, diagonales, polígonos regulares (apotema y radio) y la familia de los cuadriláteros - paralelogramos, trapecios y trapezoides. - Perímetros y áreas
La diferencia entre perímetro y área y las fórmulas de cuadrado, rectángulo, triángulo, paralelogramo, rombo, trapecio y polígonos regulares; figuras compuestas y problemas cotidianos (baldosas, pintura, vallas). - La circunferencia y el círculo
Elementos de la circunferencia, el número π, longitud de la circunferencia y área del círculo, arcos, sectores y coronas circulares, ángulo central e inscrito y problemas de la vida real (ruedas, pizzas, zonas sombreadas). - Cuerpos geométricos y volúmenes
Poliedros y cuerpos redondos, fórmulas de volumen y área de cubo, ortoedro, prisma, cilindro, pirámide, cono y esfera, la relación entre volumen y capacidad (litros) y problemas de depósitos, cajas y latas. - Teorema de Pitágoras
La relación entre los lados de un triángulo rectángulo, cómo calcular la hipotenusa o un cateto, cómo comprobar si un triángulo es rectángulo y aplicaciones (escaleras, diagonales, alturas, distancias). - Semejanza y teorema de Tales
Figuras semejantes y razón de semejanza, criterios de semejanza de triángulos, el teorema de Tales, cómo cambian las áreas y volúmenes al ampliar una figura, escalas de mapas y planos y problemas de sombras y alturas. - Razones trigonométricas
Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo, cómo usarlas con la calculadora para hallar lados y ángulos de un triángulo rectángulo, valores notables (30°, 45°, 60°), la relación fundamental, ángulos de elevación y una primera idea de los radianes. - Coordenadas, distancias y rectas
El plano cartesiano, la distancia entre dos puntos, el punto medio, la pendiente y la ecuación de la recta (punto-pendiente, explícita y general), rectas paralelas y perpendiculares, cortes con los ejes e intersección de dos rectas.
Nivel 4 · Funciones
Qué es una función, cómo se dibuja y las grandes familias - lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica y trigonométrica.
- Concepto de función y gráficas
Qué es una función, variable independiente y dependiente, cómo se representa (enunciado, tabla, fórmula y gráfica), cómo calcular valores, cómo dibujar una gráfica con una tabla de valores y cómo reconocer si una gráfica es una función. - Función lineal y afín
Funciones cuya gráfica es una recta - proporcionalidad directa (y = mx), función afín (y = mx + n) y constante; pendiente y ordenada en el origen, crecimiento, cómo dibujarlas, cómo hallar su ecuación y problemas de tarifas y movimiento. - Función cuadrática y parábola
La función y = ax² + bx + c y su gráfica, la parábola - cómo influye a, vértice y eje de simetría, cortes con los ejes, cómo dibujarla paso a paso y problemas de máximos y mínimos (proyectiles, vallas, beneficios). - Dominio, recorrido y propiedades
Para qué valores de x existe una función (dominio) y qué valores de y alcanza (recorrido); cómo calcularlos con la fórmula y leerlos en una gráfica; crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetría (pares e impares) y funciones definidas a trozos. - Función exponencial
La función y = aˣ, su gráfica y propiedades; crecimiento y decaimiento exponencial; aplicaciones (interés compuesto, poblaciones, depreciación, vida media) y el número e. - Logaritmos
Qué es un logaritmo (la operación inversa de la potencia), logaritmos decimales y neperianos, propiedades para calcular y simplificar, cambio de base, la función logarítmica y aplicaciones (pH, decibelios). - Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Cómo resolver ecuaciones con la incógnita en un exponente (igualando bases o aplicando logaritmos, con factor común o cambio de variable) y ecuaciones con logaritmos (aplicando la definición y las propiedades), comprobando siempre las soluciones; problemas de capitales y crecimiento. - Funciones trigonométricas y la circunferencia unidad
Seno, coseno y tangente de cualquier ángulo con la circunferencia unidad, signos por cuadrantes, ángulos notables, reducción al primer cuadrante, radianes y las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente (periodo y amplitud). - Identidades y ecuaciones trigonométricas
Las identidades fundamentales (sen² + cos² = 1, tan = sen/cos), las fórmulas de la suma y del ángulo doble, cómo simplificar expresiones y cómo resolver ecuaciones trigonométricas (buscando todos los ángulos entre 0° y 360°). - Transformaciones de gráficas
Cómo cambia la gráfica de una función al sumar, restar, multiplicar o cambiar el signo dentro y fuera de ella - traslaciones, reflexiones y dilataciones - y la forma canónica de la parábola. - Composición e inversa de funciones
Cómo encadenar funciones (composición f∘g y su orden), qué es la función inversa, cómo calcularla despejando, su gráfica simétrica respecto a y = x y cuándo existe (funciones inyectivas). - Sucesiones y progresiones
Sucesiones como listas ordenadas de números, término general, progresiones aritméticas (suma de Gauss) y geométricas (suma finita e infinita), y aplicaciones - ahorros, interés compuesto, rebotes y decimales periódicos.
Nivel 5 · Estadística
Interpretar datos, contar posibilidades y calcular probabilidades. Muy útil también para entender las noticias.
- Tablas de frecuencias y gráficos
Qué estudia la estadística (población, muestra, tipos de variable), cómo organizar datos en tablas de frecuencias (absoluta, relativa, porcentaje, acumulada), datos agrupados en intervalos y cómo construir e interpretar diagramas de barras, sectores e histogramas. - Media, mediana y moda
Cómo resumir un conjunto de datos con un solo número - media aritmética (simple, con tabla, ponderada y con datos agrupados), mediana, moda - cuál elegir cuando hay valores atípicos, cuartiles y diagrama de caja. - Medidas de dispersión
Cuánto se separan los datos de su centro - rango, rango intercuartílico, varianza, desviación típica (con datos sueltos y con tabla), coeficiente de variación y cómo interpretar y comparar dispersiones. - Principios de conteo
Cómo contar posibilidades sin listarlas una a una - principio de multiplicación, principio de suma, diagramas de árbol, factorial, arreglos con y sin repetición y conteos con restricciones (números de cifras, contraseñas, matrículas, podios). - Permutaciones, variaciones y combinaciones
Las tres grandes técnicas de conteo - variaciones (el orden importa), permutaciones (ordenar todos) y combinaciones (el orden no importa) - con y sin repetición, números combinatorios, triángulo de Pascal y cómo decidir cuál usar en cada problema. - Probabilidad básica
Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos; regla de Laplace, sucesos contrarios, unión e intersección de sucesos, sucesos incompatibles e independientes y la probabilidad como frecuencia relativa a la larga. - Probabilidad condicionada y Bayes
Cómo cambia una probabilidad cuando se conoce información adicional - probabilidad condicionada, regla del producto, diagramas de árbol (con y sin reposición), independencia, probabilidad total y teorema de Bayes (incluyendo el famoso caso de las pruebas médicas). - Distribución binomial
El modelo de repetir un experimento de éxito o fracaso - condiciones de una binomial B(n, p), la fórmula de probabilidad, media y desviación típica, probabilidades acumuladas ("al menos uno") y aplicaciones a encuestas, controles de calidad y exámenes tipo test. - Distribución normal
La campana de Gauss - características de la distribución normal N(μ, σ), la regla del 68-95-99,7, tipificación (puntuaciones z), uso de la tabla de la normal estándar, cálculo de probabilidades y percentiles, y la normal como aproximación de la binomial. - Correlación y regresión
Cómo medir si dos variables van de la mano - nube de puntos, covarianza, coeficiente de correlación de Pearson, recta de regresión, predicciones y por qué correlación no significa causalidad.
Nivel 6 · Cálculo
El cambio y la acumulación. Límites, derivadas, estudio de funciones e integrales, paso a paso y sin dar nada por sabido.
- La idea de límite
Qué significa que una función "se acerque" a un valor - límites por tablas y por gráficas, límites laterales, cuándo no existe el límite y límites cuando x tiende a infinito. - Cálculo de límites
Cómo calcular límites sin tablas - propiedades, sustitución directa, la indeterminación 0/0 (factorizar y conjugado), número entre cero y límites en el infinito de fracciones. - Continuidad y asíntotas
Qué es una función continua, los tres tipos de discontinuidad, cómo hacer continua una función a trozos, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y el teorema de Bolzano. - La derivada - qué es y de dónde sale
De la velocidad media a la velocidad instantánea - definición de derivada como límite, pendiente de la tangente, cálculo de derivadas con la definición, función derivada y relación entre derivabilidad y continuidad. - Reglas de derivación
Derivar sin usar la definición - derivadas de potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, y las reglas de la suma, el producto por un número, el producto y el cociente. - Regla de la cadena
Cómo derivar funciones compuestas (una función dentro de otra) - la regla de la cadena, derivadas de potencias, exponenciales, logaritmos y trigonométricas de una expresión, varias capas y combinación con producto y cociente. - Recta tangente y velocidad de cambio
Primeras aplicaciones de la derivada - ecuación de la recta tangente y normal, velocidad y aceleración, tasas de variación en contextos reales (costes, poblaciones) y aproximación lineal. - Crecimiento, máximos, mínimos y curvatura
Cómo usar la primera y la segunda derivada para saber dónde crece o decrece una función, dónde tiene máximos y mínimos, cómo se curva y dónde cambia esa curvatura, y cómo reunirlo todo para dibujar su gráfica. - Problemas de optimización
Cómo resolver problemas reales de máximos y mínimos con derivadas - método paso a paso (función objetivo, restricción, dominio, derivada, comprobación) con ejemplos de áreas, volúmenes, beneficios y costes. - Integral indefinida y primitivas
La operación inversa de derivar - primitivas, la constante de integración, tabla de integrales básicas, linealidad, cómo reescribir antes de integrar y cómo hallar la constante con una condición inicial. - Integración por sustitución
Cómo integrar funciones compuestas deshaciendo la regla de la cadena - cambio de variable u = g(x), el caso de interior lineal, patrones frecuentes (f'/f, potencias, exponenciales, trigonométricas) y cómo tratar la x sobrante. - Integración por partes
Cómo integrar productos de funciones con la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du - de dónde sale, cómo elegir u y dv (regla LIATE), ejemplos con exponenciales, trigonométricas y logaritmos, y cuándo hay que repetirla. - Integral definida y áreas
Qué es el área bajo una curva y cómo se calcula con la integral definida - sumas de Riemann, el teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow), propiedades, área con signo, área entre dos curvas, sustitución con límites y valor medio. - Series y sucesiones infinitas
Qué significa sumar infinitos términos - límite de una sucesión, series y sumas parciales, la serie geométrica (y los decimales periódicos), la serie armónica, series p, condición necesaria y criterio del cociente. - Ecuaciones diferenciales básicas
Ecuaciones donde la incógnita es una función y aparece su derivada - solución general y particular, integración directa, variables separables, crecimiento y decrecimiento exponencial, enfriamiento y movimiento.
Nivel 7 · Superior
Complejos, vectores, matrices, cálculo en varias variables, teoría de números y demostraciones. Para llegar hasta donde quieras.
- Números complejos
La unidad imaginaria i, la forma binómica a + bi, operaciones (suma, producto, conjugado, división, módulo), el plano complejo, la forma polar, potencias con De Moivre y ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas. - Vectores
Qué es un vector y cómo se opera con él - componentes, suma y producto por un número, módulo, vector unitario, producto escalar, ángulo entre vectores, perpendicularidad, producto vectorial y ecuación vectorial de la recta. - Matrices
Qué es una matriz y cómo se opera con ellas - dimensiones, tipos, suma, producto por un número, producto de matrices (y por qué no es conmutativo), traspuesta, matrices como transformaciones y ecuaciones matriciales. - Determinantes e inversa
El determinante de una matriz (orden 2 y 3, regla de Sarrus, desarrollo por cofactores), sus propiedades, cuándo existe la matriz inversa, cómo calcularla en orden 2 y cómo resolver ecuaciones matriciales con ella. - Sistemas lineales con matrices
Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices - forma matricial, método de Gauss (eliminación), clasificación de sistemas (compatible determinado, indeterminado, incompatible), regla de Cramer y soluciones con parámetros. - Espacios vectoriales
La estructura común de vectores, matrices y polinomios - combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases y dimensión, coordenadas, subespacios y rango. - Autovalores y autovectores
Las direcciones especiales que una matriz no gira - definición, polinomio característico, cálculo de autovalores y autovectores en orden 2, relación con traza y determinante, diagonalización, potencias de matrices y autovalores complejos. - Derivadas parciales
Funciones de dos variables y cómo derivarlas - derivadas parciales, gradiente, plano tangente, derivadas de orden superior, puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de silla) y regla de la cadena en varias variables. - Integrales múltiples
Integrales dobles y triples - integrales iteradas (teorema de Fubini), regiones no rectangulares, cálculo de áreas y volúmenes, cambio del orden de integración, coordenadas polares y valor medio. - Teoría de números y aritmética modular
La aritmética de los restos - divisibilidad, congruencias, operaciones módulo n, potencias grandes, algoritmo de Euclides, inversos modulares, congruencias lineales, teorema chino del resto y aplicaciones (calendarios, códigos de control, criptografía). - Lógica y técnicas de demostración
El lenguaje de la lógica (proposiciones, conectivos, tablas de verdad, equivalencias, cuantificadores) y las principales técnicas para demostrar - método directo, contrarrecíproco, reducción al absurdo, contraejemplos e inducción.