Integrales múltiples

Para qué sirve esto

La integral de una variable suma una cantidad a lo largo de un intervalo y da un área. La integral doble suma una cantidad sobre una región del plano y da un volumen; la triple, sobre una región del espacio.

Con ellas se calculan:

• El volumen de un sólido (una montaña, un depósito, una copa).
• La masa de una placa cuya densidad no es uniforme.
• El centro de masas, momentos de inercia.
• Probabilidades con dos o más variables aleatorias.
• El valor medio de una cantidad sobre una región.

Necesitas: integral definida (N6) y derivadas parciales (capítulo anterior, por la idea de "tratar la otra variable como constante").

La integral doble sobre un rectángulo

Si $f(x, y) \geq 0$ sobre el rectángulo $R = [a, b] \times [c, d]$, la integral doble $$\iint_R f(x, y)\,dA$$ es el volumen del sólido que hay bajo la superficie $z = f(x, y)$ y sobre $R$. (Igual que $\int_a^b f\,dx$ era el área bajo la curva.) Se define con sumas de "cajitas" de altura $f$ y base un rectangulito, en el límite.

Integrales iteradas

En la práctica se calcula integrando de una variable en una variable:

Regiones no rectangulares

Cuando la región $D$ no es un rectángulo, los límites de la integral interior dependen de la otra variable.

Los límites exteriores son números; los interiores pueden ser funciones de la variable exterior. El resultado final es siempre un número.

Áreas y volúmenes

• Área de una región $D$: $\displaystyle\iint_D 1\,dA$ (integrar la función constante $1$).
• Volumen bajo $z = f(x, y)$ sobre $D$: $\displaystyle\iint_D f\,dA$.

Valor medio de $f$ en $D$: $$\bar{f} = \frac{1}{\text{Área}(D)}\iint_D f\,dA$$

Cambiar el orden de integración

A veces una integral es difícil en un orden y fácil en el otro. Hay que dibujar la región y describirla "por el otro lado":

Coordenadas polares

Para regiones circulares, conviene usar $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Cambia el elemento de área:

Integrales triples

Igual idea con tres integrales anidadas: $\displaystyle\iiint_E f\,dV$ suma $f$ sobre un sólido $E$. Con $f = 1$ da el volumen de $E$.

Errores típicos