Matrices · Vuelve a Mates

Para qué sirve esto

Una matriz es una tabla rectangular de números. Parece un simple cuadro de datos, pero es una de las herramientas más poderosas de las matemáticas modernas:

Guarda y procesa datos: notas de alumnos por asignatura, ventas por producto y mes.
Resuelve sistemas de ecuaciones grandes (siguientes capítulos).
Describe transformaciones del plano: giros, ampliaciones, simetrías (gráficos por ordenador, videojuegos).
Es la base de la inteligencia artificial (las redes neuronales son, en el fondo, multiplicaciones de matrices).

Necesitas: sistemas de ecuaciones (N2) y vectores (capítulo anterior).

Qué es una matriz

Cómo escribirlas en los ejercicios: por filas, con ; entre filas y espacios entre elementos. La matriz de arriba se escribe 1 2 3; 4 5 6.

Tipos de matrices

Tipo	Descripción	Ejemplo
Cuadrada	Igual número de filas y columnas ( $n \times n$ )	$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Fila / columna	Una sola fila / una sola columna	$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$
Nula	Todo ceros	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Diagonal	Cuadrada, ceros fuera de la diagonal	$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
Identidad $I$	Diagonal con unos	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Simétrica	$a_{ij} = a_{ji}$ (igual que su traspuesta)	$\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$

Suma y producto por un número

Suma (y resta): solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
Producto por un número $k$ : multiplica todos los elementos.

Producto de matrices

Aquí está la operación importante (y la que más despista).

Propiedades (y trampas)

Sí se cumplen:

Asociativa: $(AB)C = A(BC)$ .
Distributiva: $A(B + C) = AB + AC$ .
Identidad: $AI = IA = A$ (la identidad es el " $1$ " de las matrices).

Y ojo con dos "trampas":

$AB = 0$ no implica que $A = 0$ o $B = 0$ .
$(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ (porque $AB \neq BA$ ).

La traspuesta

La traspuesta $A^T$ intercambia filas y columnas: la fila $i$ pasa a ser la columna $i$ . $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ Si $A$ es $m \times n$ , $A^T$ es $n \times m$ . Se cumple $(AB)^T = B^T A^T$ (¡el orden se invierte!). Una matriz es simétrica si $A = A^T$ .

Matrices y vectores

Multiplicar una matriz por un vector (una matriz columna) transforma ese vector: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Esa matriz gira $90^\circ$ los vectores: $(1, 0) \to (0, 1) \to (-1, 0)$ . Cada matriz representa una transformación del plano (giros, ampliaciones, simetrías…).