Medidas de dispersión

Por qué no basta la media

Dos alumnos tienen de media un $5$:

• Ana: $5, 5, 5, 5, 5$ (siempre regular).
• Beto: $1, 3, 5, 7, 9$ (unas veces muy bien, otras muy mal).

La media es la misma ($5$), pero el comportamiento es muy distinto. Necesitamos otra medida que diga cuánto se dispersan los datos alrededor de la media: las medidas de dispersión.

Rango y rango intercuartílico

• Rango (o recorrido) $=$ máximo $-$ mínimo. Es fácil pero solo usa dos datos y le afectan mucho los atípicos.
• Rango intercuartílico $\text{RIC} = Q_3 - Q_1$: la longitud de la "caja", que contiene el $50\,\%$ central. Ignora los extremos.

Varianza y desviación típica

Para usar todos los datos se mide cuánto se aleja cada uno de la media, $(x_i - \bar{x})$. Pero la suma de esas desviaciones siempre da $0$ (las positivas cancelan a las negativas), así que se elevan al cuadrado.

Fórmula abreviada

Desarrollando el cuadrado se obtiene una fórmula más cómoda: $$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2 \qquad\text{(media de los cuadrados menos el cuadrado de la media)}$$

Con una tabla de frecuencias

$$\sigma^2 = \frac{\sum f_i\,x_i^2}{N} - \bar{x}^2$$

Cómo cambian al transformar los datos

• Sumar una constante $c$ a todos los datos: la media sube $c$, la desviación no cambia (se desplaza todo, pero igual de separado).
• Multiplicar todos por $k$: la media se multiplica por $k$ y la desviación por $|k|$.

Coeficiente de variación

$\sigma$ depende de las unidades. ¿Varían más las alturas ($\bar{x} = 171$ cm, $\sigma = 10$ cm) o los pesos ($\bar{x} = 65$ kg, $\sigma = 9$ kg)? No se pueden comparar cm con kg. Se usa una medida relativa:

$$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\ (\%)$$

Errores típicos