Conjuntos numéricos: N, Z, Q y R

Para qué sirve esto

En este nivel has ido conociendo tipos de números: los que sirven para contar, los negativos, las fracciones, los decimales, las raíces… Este tema los ordena en un mapa único y explica por qué la humanidad tuvo que ir ampliando los números: cada nuevo tipo nació porque había una operación que no se podía hacer con los anteriores. Además aprenderás a escribir tramos de la recta con intervalos, algo que necesitarás para inecuaciones, funciones y cálculo.

Los cuatro grandes conjuntos

$\N$: los naturales

$\N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$. Sirven para contar. Dentro de $\N$ siempre se puede sumar y multiplicar, pero no siempre restar ($3 - 5$ no es un natural) ni dividir ($3 : 5$ tampoco).

$\Z$: los enteros

$\Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. Nacen para poder restar siempre: al añadir los negativos, $3 - 5 = -2$ ya tiene sentido. Ahora suma, resta y multiplicación siempre se pueden hacer, pero la división no siempre: $3 : 5$ sigue sin ser un entero.

$\Q$: los racionales

Nacen para poder dividir siempre (salvo entre $0$): $3 : 5 = \frac{3}{5}$. Y todos los decimales exactos y periódicos son racionales, porque ya sabes convertirlos en fracción: $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $\;0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$. Los enteros también lo son: $5 = \frac{5}{1}$.

$\mathbb{R}$: los reales

Pero no todos los números son fracciones. Hay números cuyos decimales no se acaban y no se repiten nunca. Son los irracionales, y junto con los racionales forman los números reales, $\mathbb{R}$, que llenan toda la recta numérica.

Cómo encajan

Cada conjunto contiene al anterior:

$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \mathbb{R}$$

Una idea sorprendente: los racionales son "densos"

Entre dos números racionales cualesquiera siempre hay otros racionales (¡infinitos!): entre $0$ y $1$ está $\frac{1}{2}$; entre $0$ y $\frac{1}{2}$ está $\frac{1}{4}$; entre $0$ y $\frac{1}{4}$ está $\frac{1}{8}$… y así sin fin. Lo mismo pasa con los irracionales. Por eso no existe "el siguiente número" a uno dado en la recta real.

Aproximaciones

Los irracionales tienen infinitas cifras, así que al usarlos hay que aproximar. Un valor aproximado tiene un error: la diferencia con el valor exacto. Por ejemplo, $\pi \approx 3{,}14$ tiene un error menor que $0{,}002$; $\pi \approx 3{,}2$ tiene un error mayor ($\approx 0{,}058$). Según lo que se necesite, se usan más o menos cifras.

Intervalos: tramos de la recta

Un intervalo es un tramo de la recta real: todos los números comprendidos entre dos extremos. Se escribe con paréntesis (extremo no incluido, "abierto") o corchete (extremo incluido, "cerrado").