Transformaciones de gráficas

Una gráfica, muchas gráficas

Si conoces la gráfica de una función sencilla (la "función madre"), puedes obtener la de muchas parecidas sin calcular puntos: basta moverla, voltearla o estirarla. Es como tener una plantilla.

Funciones madre habituales: $x^2$, $|x|$, $\sqrt{x}$, $x^3$, $\frac{1}{x}$.

Traslaciones

Vertical: $f(x) + k$

Suma $k$ a todas las alturas: la gráfica sube $k$ (si $k > 0$) o baja $|k|$ (si $k < 0$).

Horizontal: $f(x - h)$

Cuidado: al restar $h$ dentro de la función, la gráfica se mueve $h$ a la derecha (si $h > 0$). Parece al revés, pero es lógico: para obtener el mismo valor que antes en $x = 0$, ahora hace falta $x = h$.

Reflexiones

• $-f(x)$: cambia el signo de las alturas → reflexión respecto al eje $X$ (la gráfica se voltea hacia abajo).
• $f(-x)$: cambia el signo de las $x$ → reflexión respecto al eje $Y$ (efecto espejo horizontal).

Dilataciones: estirar y comprimir

• $a \cdot f(x)$ (multiplicar por fuera): estira verticalmente si $|a| > 1$ y comprime si $0 < |a| < 1$. (En la parábola: más estrecha o más ancha.)
• $f(b\,x)$ (multiplicar por dentro): comprime horizontalmente si $b > 1$ (y estira si $0 < b < 1$). Al revés que fuera.

Combinando: $y = a\,f(x - h) + k$

La forma canónica de la parábola

Toda parábola se puede escribir como $$y = a\,(x - h)^2 + k \qquad\text{con vértice } (h, k)$$ Se llega completando el cuadrado:

Aplicar las transformaciones a un punto

Si $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ (o sea, $f(a) = b$), entonces:

Errores típicos