Vuelve a Mates

Números complejos

La unidad imaginaria i, la forma binómica a + bi, operaciones (suma, producto, conjugado, división, módulo), el plano complejo, la forma polar, potencias con De Moivre y ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas.

⏱ 90 min ✎ 11 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Ecuaciones de segundo gradoFunciones trigonométricas y la circunferencia unidad

Para qué sirve esto

En N2 aprendiste que la ecuación x2+1=0x^2 + 1 = 0 "no tiene solución": ningún número real elevado al cuadrado da −1-1. Los matemáticos decidieron inventar un número que sí lo cumpla, y ese gesto abrió todo un mundo:

  • Con él, toda ecuación polinómica tiene solución.
  • Sirve para describir ondas y corrientes alternas (electricidad, sonido, señales).
  • Es la base de la mecánica cuántica y de muchos algoritmos.
  • Hace que las rotaciones en el plano sean simples multiplicaciones.

No te asustes por el nombre "imaginario": es solo una etiqueta histórica. Los números complejos son tan legítimos como los negativos, que también fueron "absurdos" en su día.

Necesitas: ecuaciones de segundo grado y trigonometría básica (N2, N3, N4).

La unidad imaginaria

Con ella podemos escribir la raíz de cualquier número negativo: −9=9⋅−1=3i\sqrt{-9} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{-1} = 3i,  −5=5 i\ \sqrt{-5} = \sqrt{5}\,i.

Potencias de i

Las potencias de ii se repiten cada cuatro:

i1i^1 i2i^2 i3i^3 i4i^4 i5i^5 …\ldots
ii −1-1 −i-i 11 ii (vuelve a empezar)

Para calcular ini^n: divide nn entre 44 y mira el resto (0→10 \to 1, 1→i1 \to i, 2→−12 \to -1, 3→−i3 \to -i).

Operaciones en forma binómica

Suma y resta

Se hacen por separado la parte real y la imaginaria, como si ii fuera una letra: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d) i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i

(2+3i)+(1−5i)=3−2i(2 + 3i) + (1 - 5i) = 3 - 2i; (2+3i)−(1−5i)=1+8i\quad(2 + 3i) - (1 - 5i) = 1 + 8i.

Producto

Se multiplica como polinomios y luego se usa i2=−1i^2 = -1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc) i(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i

Conjugado y módulo

Para z=3−4iz = 3 - 4i: zˉ=3+4i\bar{z} = 3 + 4i y ∣z∣=9+16=5|z| = \sqrt{9 + 16} = 5.

División

Para dividir, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador (como al racionalizar). El denominador se vuelve real:

El plano complejo

Cada complejo a+bia + bi corresponde a un punto (a,b)(a, b) del plano: el eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario. El módulo es la distancia al origen y el conjugado es el simétrico respecto del eje real.

123−4−3−2−11234xy|z| = 5z = 3 + 4iz̄ = 3 − 4i
z = 3 + 4i y su conjugado: simétricos respecto del eje real. El módulo es la longitud del segmento desde el origen

Forma polar

Cada punto también se puede localizar con su distancia al origen r=∣z∣r = |z| y su ángulo θ\theta con el eje real positivo (el argumento):

Pasar a binómica: a=rcos⁡θa = r\cos\theta, b=rsin⁡θb = r\sin\theta.

Producto y potencias en forma polar

En forma polar todo es más sencillo:

  • Producto: se multiplican los módulos y se suman los argumentos: rα⋅sβ=(rs)α+βr_\alpha \cdot s_\beta = (rs)_{\alpha + \beta}.
  • Cociente: se dividen módulos y se restan argumentos.
  • Potencia (De Moivre): [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn (cos⁡nθ+isin⁡nθ)\big[r(\cos\theta + i\sin\theta)\big]^n = r^n\,(\cos n\theta + i\sin n\theta).

Ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas

Cuando el discriminante Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac es negativo, la fórmula sigue funcionando: Δ\sqrt{\Delta} es imaginario y las dos soluciones son complejas conjugadas.

Errores típicos