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Reglas de derivación

Derivar sin usar la definición - derivadas de potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, y las reglas de la suma, el producto por un número, el producto y el cociente.

⏱ 80 min ✎ 11 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:La derivada - qué es y de dónde sale

Para qué sirve esto

En el capítulo anterior obtuvimos (x2)′=2x(x^2)' = 2x con un límite. Hacer eso cada vez sería lentísimo. Por suerte, el trabajo ya está hecho: existen reglas que permiten derivar casi cualquier función en segundos, sin límites.

Este capítulo es puro entrenamiento: aprende la tabla y las cuatro reglas, y practica hasta que sea automático. Es el "cálculo mental" de las derivadas.

Necesitas: la definición de derivada (capítulo anterior), potencias y raíces (N1), y saber simplificar expresiones (N2).

Notación

Para derivar una función ff escribimos f′f' o ddxf\dfrac{d}{dx}f. Si y=f(x)y = f(x): y′y' o dydx\dfrac{dy}{dx}. Todas significan "la derivada de ff respecto a xx".

Derivadas básicas

Estas son las derivadas "de fábrica". Se memorizan (con el uso, salen solas):

Función f(x)f(x) Derivada f′(x)f'(x)
Constante kk 00
xnx^n (cualquier nn) n xn−1n\,x^{n-1}
x\sqrt{x} 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
exe^x exe^x
axa^x axln⁡aa^x \ln a
ln⁡x\ln x 1x\dfrac{1}{x}
log⁡ax\log_a x 1xln⁡a\dfrac{1}{x \ln a}
sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x −sin⁡x-\sin x
tan⁡x\tan x 1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}

Reglas de las operaciones

Constante por función. Sale fuera: (k f)′=k f′\big(k\,f\big)' = k\,f'.

Suma y resta. Se deriva término a término: (f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'.

Con estas dos reglas y la de la potencia ya sabes derivar cualquier polinomio.

Regla del producto

Regla del cociente

Potencias, raíces y fracciones

La regla (xn)′=n xn−1(x^n)' = n\,x^{n-1} vale para cualquier exponente, incluidos negativos y fraccionarios. Solo hay que reescribir la función como potencia:

Función Como potencia Derivada
1x\dfrac{1}{x} x−1x^{-1} −x−2=−1x2-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}
3x2\dfrac{3}{x^2} 3x−23x^{-2} −6x−3=−6x3-6x^{-3} = -\dfrac{6}{x^3}
x\sqrt{x} x1/2x^{1/2} 12x−1/2=12x\tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
x23\sqrt[3]{x^2} x2/3x^{2/3} 23x−1/3\tfrac{2}{3}x^{-1/3}
1x\dfrac{1}{\sqrt{x}} x−1/2x^{-1/2} −12x−3/2-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}

Errores típicos