Sucesiones y progresiones

Sucesiones: listas ordenadas de números

Una sucesión es una lista ordenada de números, uno por cada posición $1, 2, 3, \ldots$: $$a_1,\; a_2,\; a_3,\; \ldots,\; a_n,\; \ldots$$ Es, en el fondo, una función cuyo dominio son los números naturales: a cada posición $n$ le corresponde un valor $a_n$.

• $a_1$ es el primer término, $a_n$ el término general (o término $n$-ésimo).
• Se define con una fórmula: $a_n = 3n - 2 \Rightarrow a_1 = 1,\; a_2 = 4,\; a_5 = 13$.
• O de forma recurrente (cada término a partir de los anteriores): la sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,\ldots$ cumple $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.

Progresiones aritméticas

En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando siempre lo mismo, la diferencia $d$: $$a_{n+1} = a_n + d$$

Suma de los términos

Según la anécdota, al pequeño Gauss le mandaron sumar $1 + 2 + \cdots + 100$. Vio que los extremos suman lo mismo: $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$… y hay $50$ parejas: $50 \cdot 101 = 5050$.

Progresiones geométricas

En una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando siempre por lo mismo, la razón $r$: $$a_{n+1} = a_n \cdot r$$

Suma de los primeros $n$ términos

$$S_n = \frac{a_1\,(r^n - 1)}{r - 1} \qquad (r \neq 1)$$

Suma de infinitos términos

Si $|r| < 1$, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma de infinitos términos converge a un número finito:

Aplicaciones

Errores típicos