Potencias

Para qué sirve esto

Las potencias son la forma abreviada de multiplicar un número por sí mismo varias veces. Aparecen al calcular áreas ($\text{lado}^2$) y volúmenes ($\text{lado}^3$), al hablar de dinero que crece (interés compuesto), de números enormes o minúsculos (notación científica), de bacterias que se duplican… Y son la puerta a las raíces, los logaritmos y las funciones exponenciales.

Qué es una potencia

$$\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ veces}} = a^n$$

Dos casos tienen nombre propio: $a^2$ es "$a$ al cuadrado" (el área de un cuadrado de lado $a$) y $a^3$ es "$a$ al cubo" (el volumen de un cubo de arista $a$).

Conviene saberse los cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$ (del $1$ al $15$) y algunos cubos: $1, 8, 27, 64, 125$.

El signo de una potencia

Con base positiva, la potencia es siempre positiva. Con base negativa depende del exponente:

• Exponente par → resultado positivo: $(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = +16$.
• Exponente impar → resultado negativo: $(-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8$.

Casos especiales

• $a^1 = a$ (un solo factor).
• $a^0 = 1$ para cualquier $a \neq 0$. ¿Por qué? Mira el patrón: $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$… cada vez que bajamos el exponente, dividimos entre $2$. Seguimos: $2^0 = 2 : 2 = 1$.
• Exponente negativo: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Siguiendo el patrón, $2^{-1} = 1 : 2 = \frac{1}{2}$ y $2^{-3} = \frac{1}{8}$. Un exponente negativo no hace el número negativo: lo convierte en inverso.

Propiedades de las potencias

Salen directamente de la definición (contando factores):

¿Por qué? Cuenta factores: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$; suman $3 + 4$ factores. $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^6$: dos grupos de tres.

Potencias de 10

$$10^1 = 10,\quad 10^2 = 100,\quad 10^3 = 1\,000,\quad 10^4 = 10\,000 \qquad 10^{-1} = 0{,}1,\quad 10^{-2} = 0{,}01,\quad 10^{-3} = 0{,}001$$

Un $10^n$ es un $1$ seguido de $n$ ceros. Y multiplicar por $10^n$ desplaza la coma $n$ lugares a la derecha (a la izquierda si $n$ es negativo). Estas potencias son la base de la notación científica (tema siguiente).

Orden de las operaciones con potencias

Las potencias se calculan justo después de los paréntesis y antes de multiplicar y dividir:

$$2 + 3 \times 2^2 = 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$$

Potencias en la vida real