Coordenadas, distancias y rectas

El plano cartesiano

Para localizar un punto en un mapa necesitas dos datos (calle y número, o latitud y longitud). En matemáticas se hace con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el origen $O(0, 0)$:

• el eje horizontal o eje $X$ (abscisas),
• el eje vertical o eje $Y$ (ordenadas).

Cada punto se describe con una pareja ordenada $(x, y)$: primero cuánto te mueves en horizontal y luego en vertical.

Distancia entre dos puntos

Para ir de $A(x_1, y_1)$ a $B(x_2, y_2)$ en línea recta, los "pasos" en horizontal y vertical forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia. Pitágoras hace el resto:

Punto medio

El punto medio de un segmento $AB$ es el que está a la misma distancia de $A$ y de $B$. Sus coordenadas son la media de las coordenadas de los extremos:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Pendiente de una recta

La pendiente $m$ mide lo empinada que es una recta: cuánto sube (o baja) $y$ por cada unidad que avanza $x$.

Ecuación de la recta

Forma punto-pendiente

Si la recta pasa por $P(x_1, y_1)$ y tiene pendiente $m$: $$y - y_1 = m\,(x - x_1)$$

Forma explícita

Despejando $y$: $\;y = m\,x + n$, donde:

• $m$ es la pendiente,
• $n$ es la ordenada en el origen (donde la recta corta al eje $Y$: el punto $(0, n)$).

Forma general

Todo en un lado igualado a cero: $\;Ax + By + C = 0$.

Posiciones relativas de dos rectas

Con pendientes $m_1$ y $m_2$:

Punto de intersección

Si las rectas se cortan, el punto de corte cumple las dos ecuaciones a la vez: es un sistema de ecuaciones.

Errores típicos