Función cuadrática y parábola

La función cuadrática y la parábola

Una función cuadrática es una función cuya fórmula es un polinomio de segundo grado:

$$f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \qquad (a \neq 0)$$

Su gráfica es una curva llamada parábola. La ves en el chorro de una fuente, en la trayectoria de un balón o en el cable de un puente colgante.

Cómo influye el coeficiente $a$

Cuanto mayor es $|a|$, más estrecha es la parábola.

El vértice y el eje de simetría

El vértice es el punto más bajo (si abre hacia arriba) o más alto (si abre hacia abajo). La parábola es simétrica respecto a la vertical que pasa por él, el eje de simetría.

Cortes con los ejes

• Con el eje $Y$ (poniendo $x = 0$): el punto $(0, c)$. Siempre hay uno.
• Con el eje $X$ (poniendo $f(x) = 0$): se resuelve la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$. Según el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ hay dos, uno o ningún corte.

Dibujar una parábola paso a paso

1. Concavidad (signo de $a$).
2. Vértice $V(x_v, y_v)$.
3. Cortes con los ejes.
4. Tabla con algunos valores a ambos lados del vértice (por la simetría, cada valor a un lado se repite al otro).
5. Unir con una curva suave.

Máximos y mínimos: problemas

El vértice da el valor máximo o mínimo: por eso las parábolas resuelven problemas de optimización.

Errores típicos