Sistemas lineales con matrices

Para qué sirve esto

En N2 resolviste sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por sustitución, igualación o reducción. Pero en la vida real (economía, ingeniería, redes eléctricas, ciencia de datos) aparecen sistemas con decenas o millones de incógnitas. Para esos casos se usan las matrices, que convierten la resolución en un procedimiento mecánico que un ordenador puede ejecutar.

Además, con matrices se entiende qué pasa: por qué unos sistemas tienen una solución, otros infinitas y otros ninguna.

Necesitas: matrices y determinantes (capítulos anteriores) y sistemas de N2.

Un sistema como ecuación matricial

El sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ se puede escribir como producto de matrices, $A\,X = B$ : $\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}_{A\ \text{(coeficientes)}}\underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}_{X\ \text{(incógnitas)}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}}_{B\ \text{(términos indep.)}}$

Y para trabajar más cómodos se usa la matriz ampliada $A^*$ , que junta $A$ y $B$ (con una barra vertical): $A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$

Si $A$ es regular ( $\det A \neq 0$ ), la solución es directa: $X = A^{-1}B$ . Pero calcular inversas grandes es costoso; el método de Gauss es más eficiente.

El método de Gauss

Idea: transformar la matriz ampliada, sin cambiar las soluciones, hasta dejarla escalonada (ceros por debajo de la diagonal), y entonces resolver de abajo hacia arriba.

Ejemplo resuelto

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

Matriz ampliada: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right)$

Paso 1: hacemos ceros bajo el primer elemento: $F_2 \to F_2 - 2F_1$ y $F_3 \to F_3 - F_1$ : $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right)$

Paso 2: cero bajo el segundo elemento: $F_3 \to 3F_3 + F_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array}\right)$

Resolvemos hacia atrás:

Fila 3: $-7z = -21 \Rightarrow z = 3$ .
Fila 2: $-3y - z = -9 \Rightarrow -3y - 3 = -9 \Rightarrow y = 2$ .
Fila 1: $x + y + z = 6 \Rightarrow x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Solución: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ . Comprobación: $1 + 2 + 3 = 6$ ✓; $2 - 2 + 3 = 3$ ✓; $1 + 4 - 3 = 2$ ✓.

Clasificar un sistema

Al llegar a la forma escalonada, puede pasar:

Situación al escalonar	Tipo	Soluciones
Tantas filas útiles como incógnitas	Compatible determinado	Una
Sobran incógnitas (hay filas de ceros $0 = 0$ )	Compatible indeterminado	Infinitas (con parámetros)
Aparece una fila $0\ 0\ 0 \,\|\, c$ con $c \neq 0$ (es decir, $0 = c$ )	Incompatible	Ninguna

Regla de Cramer

Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y $D = \det A \neq 0$ , cada incógnita es un cociente de determinantes: $x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}, \qquad z = \frac{D_z}{D}$ donde $D_x$ es el determinante de $A$ sustituyendo la columna de $x$ por la columna $B$ (y análogamente para las demás).

Cramer es cómodo para sistemas pequeños ( $2 \times 2$ o $3 \times 3$ ); para más incógnitas, Gauss es mucho más eficiente.

Sistemas indeterminados

Cuando sobra una incógnita, se le asigna un parámetro ( $t$ , $\lambda$ …) y se despeja todo en función de él.

Sistemas homogéneos ( $B = 0$ ): siempre son compatibles (tienen la solución trivial $x = y = z = 0$ ). Tienen más soluciones solo si $\det A = 0$ .