La idea de límite · Vuelve a Mates

Para qué sirve esto

Casi todo el cálculo (derivadas, integrales, series…) se apoya en una sola idea: el límite. Es la herramienta para hablar de lo que ocurre "cerca de" un punto, incluso cuando en ese punto no podemos calcular nada.

Ejemplo cotidiano: si te pregunto qué velocidad marca tu coche en el instante exacto $t = 3$ , la fórmula "velocidad = distancia / tiempo" da $\frac{0}{0}$ (ninguna distancia en ningún tiempo). Sin embargo, la velocidad existe: la ves en el cuentakilómetros. El límite es la idea que resuelve esa paradoja: mirar intervalos de tiempo cada vez más pequeños.

Vas a aprender a:

entender qué significa $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ;
estimarlo con tablas y leerlo en gráficas;
distinguir límites laterales y saber cuándo no existe el límite;
entender los límites cuando $x$ crece sin parar.

Necesitas saber evaluar funciones (capítulo Concepto de función, en N4).

Acercarse sin llegar

Vamos con un ejemplo que no se puede evaluar directamente:

$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

En $x = 3$ sale $\frac{0}{0}$ : la función no está definida ahí. ¿Pero qué pasa cerca de $3$ ? Probemos valores cada vez más próximos:

$x$	$2{,}9$	$2{,}99$	$2{,}999$		$3{,}001$	$3{,}01$	$3{,}1$
$f(x)$	$5{,}9$	$5{,}99$	$5{,}999$		$6{,}001$	$6{,}01$	$6{,}1$

Cuando $x$ se acerca a $3$ (por cualquiera de los dos lados), $f(x)$ se acerca a $6$ . Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $3$ es $6$ .

Definición de límite

Ejemplo resueltoEstimar un límite con una tabla

Estima $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

En $x = 0$ sale $\frac{0}{0}$ : no podemos sustituir.
Damos valores cercanos a $0$ por los dos lados:

$x$	$-0{,}1$	$-0{,}01$		$0{,}01$	$0{,}1$
$f(x)$	$0{,}2516$	$0{,}2502$		$0{,}2498$	$0{,}2485$

Todos se acercan a $0{,}25$ .

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = 0{,}25 = \frac{1}{4}$

Límites laterales

A veces la función se comporta distinto según por qué lado te acerques. Por eso distinguimos:

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)$ : por la izquierda ( $x < a$ , acercándote desde valores menores).
$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)$ : por la derecha ( $x > a$ ).

Ejemplo con una función que "salta" en $x = 1$ :

Por la izquierda te acercas a 2; por la derecha, a 3. El punto lleno es f(1) = 3

Por la izquierda, $f(x) \to 2$ ; por la derecha, $f(x) \to 3$ . Como no coinciden, $\lim_{x \to 1} f(x)$ no existe.

Cuando el límite no existe

El límite en $a$ no existe cuando ocurre alguna de estas cosas:

Causa	Ejemplo	Qué pasa
Salto	La función anterior en $x = 1$	Los laterales son distintos
Crece sin límite	$\dfrac{1}{x^2}$ en $x = 0$	$f(x)$ se hace enorme: decimos que el límite es $+\infty$
Laterales infinitos opuestos	$\dfrac{1}{x}$ en $x = 0$	Por la derecha $\to +\infty$ ; por la izquierda $\to -\infty$
Oscila sin parar	$\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en $x = 0$	No se acerca a ningún número

y = 1/x: cerca de x = 0 se dispara hacia +∞ (derecha) y hacia −∞ (izquierda)

Límites en el infinito

También podemos preguntar qué pasa cuando $x$ crece sin parar ( $x \to +\infty$ ) o decrece sin parar ( $x \to -\infty$ ).

Ejemplo resuelto

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10\,000$
$\dfrac{1}{x}$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$	$0{,}0001$

Se acerca a $0$ sin llegar nunca: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

Ejemplo resuelto

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x}

$x$	$10$	$100$	$1000$
$f(x)$	$2{,}1$	$2{,}01$	$2{,}001$

El límite es $2$ . La gráfica tiene una asíntota horizontal en $y = 2$ : la curva se pega a esa recta cuando $x$ se hace enorme.

Idea útil: dividir por algo enorme da algo diminuto: $\dfrac{\text{número}}{\text{enorme}} \to 0$ .

Leer límites en una gráfica

Para leer un límite en una gráfica:

Sitúate en $x = a$ .
Mira desde la izquierda: ¿a qué altura llega la curva?
Mira desde la derecha: ¿a qué altura llega?
Si coinciden, ese es el límite (aunque en $a$ haya un hueco o un punto suelto a otra altura).

Para qué sirve esto

Acercarse sin llegar

Definición de límite

Límites laterales

Cuando el límite no existe

Límites en el infinito

Leer límites en una gráfica

Errores típicos