Otras ecuaciones: bicuadradas, racionales e irracionales

Un mapa de este capítulo

Hasta ahora sabes resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Aquí verás cuatro familias más, y todas se reducen a algo que ya sabes:

Tipo	Cómo se ve	Idea
Bicuadrada	$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$	cambio $t = x^2$ → segundo grado
Factorizable	$x^3 - 4x = 0$	factorizar y igualar cada factor a $0$
Racional	$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{3}{4}$	multiplicar por el mcm
Irracional	$\sqrt{2x + 3} = x$	aislar la raíz y elevar al cuadrado

Ecuaciones bicuadradas

Tienen la forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$ (solo aparecen $x^4$ y $x^2$ ). Se resuelven con un cambio de variable: llamamos $t = x^2$ , y entonces $x^4 = t^2$ .

Método:

Cambio: $t = x^2$ → $at^2 + bt + c = 0$ .
Resolver esa ecuación de segundo grado en $t$ .
Deshacer el cambio: para cada $t$ , resolver $x^2 = t$ → $x = \pm\sqrt{t}$ (solo si $t \ge 0$ ).

Ecuaciones factorizables

Si puedes factorizar el polinomio, el problema se rompe en trozos: un producto vale $0$ solo cuando algún factor vale $0$ .

Ejemplo resueltoCon Ruffini:

x^3 - 7x + 6 = 0

Probamos divisores de $6$ : con $x = 1$ : $1 - 7 + 6 = 0$ ✓. Ruffini con coeficientes $1,\; 0,\; -7,\; 6$ :

	1	0	−7	6
1		1	1	−6
	1	1	−6	0

Cociente: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ . Luego $(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$ :

Soluciones: $x = 1,\; 2,\; -3$ .

Ecuaciones racionales (con denominadores)

Son las que tienen la incógnita en el denominador. Ya viste en el tema de fracciones algebraicas cómo empezar: multiplicar por el mcm.

Método: 1) mcm de los denominadores, 2) multiplicar todos los términos, 3) resolver la ecuación resultante (suele ser de primer o segundo grado), 4) comprobar que ninguna solución anula un denominador.

Ecuaciones irracionales (con raíces)

Tienen la incógnita dentro de una raíz. Método:

Aísla la raíz en un miembro (todo lo demás al otro).
Eleva al cuadrado los dos miembros (¡el miembro entero!).
Resuelve la ecuación que sale.
Comprueba en la original: elevar al cuadrado puede introducir soluciones falsas.