Logaritmos

La pregunta inversa a una potencia

Ya sabes calcular $2^3 = 8$. Pero ¿y si te preguntan al revés?

¿A qué exponente hay que elevar el $2$ para obtener $8$?

Respuesta: al $3$. Esa pregunta, "¿a qué exponente?", es lo que responde el logaritmo. Es a la potencia lo que la raíz o la resta son a otras operaciones: su inversa.

Definición de logaritmo

Logaritmos decimales y neperianos

Dos bases son tan frecuentes que tienen tecla propia en la calculadora:

• Logaritmo decimal: base $10$. Se escribe $\log x$ (sin base). $\log 1000 = 3$.
• Logaritmo neperiano (o natural): base $e \approx 2{,}718$. Se escribe $\ln x$. $\ln e^2 = 2$.

Propiedades

Como los logaritmos son exponentes, transforman los productos en sumas. Para $x, y > 0$:

Cambio de base

Las calculadoras solo tienen $\log$ y $\ln$. Para calcular en otra base:

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}$$

La función logarítmica

$f(x) = \log_a x$ es la inversa de $g(x) = a^x$: si una lleva de $x$ a $y$, la otra lleva de $y$ a $x$. Por eso sus gráficas son simétricas respecto a la recta $y = x$.

Propiedades de $f(x) = \log_a x$ (con $a > 1$):

• Dominio: $(0, +\infty)$ (solo argumentos positivos). Recorrido: todos los reales.
• Pasa por $(1, 0)$ y por $(a, 1)$.
• Asíntota vertical: $x = 0$.
• Creciente (si $a > 1$); crece muy despacio.

Aplicaciones

Los logaritmos comprimen números enormes en escalas manejables:

Errores típicos