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Composición e inversa de funciones

Cómo encadenar funciones (composición f∘g y su orden), qué es la función inversa, cómo calcularla despejando, su gráfica simétrica respecto a y = x y cuándo existe (funciones inyectivas).

⏱ 65 min ✎ 11 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Concepto de función y gráficas

Funciones que se encadenan

Muchos procesos son cadenas: el precio con IVA se calcula sobre el precio con descuento; la temperatura en °F se obtiene de la de °C que a su vez depende de otra medida. Cada paso es una función y el resultado de una alimenta a la siguiente.

Composición de funciones

Función inversa

La inversa de ff es la función que deshace lo que hace ff. Se escribe f−1f^{-1} (¡no es 1f\frac{1}{f}!).

Cómo se calcula la inversa

  1. Escribe y=f(x)y = f(x).
  2. Despeja xx en función de yy.
  3. Intercambia los nombres: x↔yx \leftrightarrow y. El resultado es f−1(x)f^{-1}(x).

La gráfica de la inversa

Si (a,b)(a, b) está en la gráfica de ff, entonces (b,a)(b, a) está en la de f−1f^{-1}. Intercambiar xx e yy es reflejar respecto a la recta y=xy = x:

−3−2−112345−3−2−112345xyff⁻¹y = x
El punto (1, 3) de f corresponde al (3, 1) de f⁻¹: simétricas respecto a y = x

¿Cuándo existe la inversa?

Para que f−1f^{-1} sea una función, cada valor de yy debe venir de un único xx: ff debe ser inyectiva (uno a uno). Se comprueba con la recta horizontal: si alguna horizontal corta a la gráfica en más de un punto, ff no tiene inversa.

Errores típicos