Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad

Para qué sirve esto

¿Se pueden repartir $36$ alumnos en grupos iguales? ¿De cuántas maneras? ¿Podemos simplificar una fracción como $\frac{24}{36}$ ? ¿Puedo dividir esto entre $3$ sin calculadora? Todas estas preguntas se resuelven con una misma idea: la divisibilidad. Es la puerta de entrada a las fracciones (simplificar y sumar), al máximo común divisor, al mínimo común múltiplo y, más adelante, a la factorización de polinomios.

En este tema aprenderás a encontrar múltiplos y divisores y a usar unos trucos (los criterios de divisibilidad) que te dicen en segundos si un número se puede dividir exactamente por otro.

Múltiplos y divisores

Los múltiplos

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por $0, 1, 2, 3, 4, \dots$ Los múltiplos de $6$ son:

$0,\ 6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\ \dots$

Hay infinitos múltiplos. Cada uno se consigue sumando $6$ al anterior. (El $0$ es múltiplo de todos los números, aunque normalmente empezamos a contar desde el primero mayor que $0$ .)

Los divisores

Los divisores de un número son finitos y siempre incluyen al $1$ y al propio número. Para no olvidarte ninguno, busca parejas cuyo producto sea el número:

Criterios de divisibilidad

Son reglas que te dicen si un número es divisible por otro mirando solo sus cifras, sin dividir.

Divisible por	Criterio	Ejemplo
2	Acaba en cifra par ( $0, 2, 4, 6, 8$ )	$7\,318$ ✓
3	La suma de sus cifras es múltiplo de $3$	$1\,254$ : $1+2+5+4 = 12$ ✓
4	Sus dos últimas cifras forman un múltiplo de $4$ (o son $00$ )	$3\,516$ : $16$ ✓
5	Acaba en $0$ o en $5$	$2\,045$ ✓
6	Es divisible por $2$ y por $3$	$5\,472$ ✓
9	La suma de sus cifras es múltiplo de $9$	$5\,472$ : $5+4+7+2 = 18$ ✓
10	Acaba en $0$	$8\,930$ ✓
11	(suma de cifras en lugares impares) $-$ (suma en lugares pares) es $0$ o múltiplo de $11$	$2\,816$ ✓ (ver abajo)

¿Por qué funcionan los de 3 y 9?

Porque $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1\,000 = 999 + 1$ … Es decir, cada posición vale "un múltiplo de $9$ más $1$ ". Por ejemplo, $5\,472 = 5 \cdot 1\,000 + 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 2$ $= (5 \cdot 999 + 4 \cdot 99 + 7 \cdot 9) + (5 + 4 + 7 + 2)$ . La primera parte siempre es múltiplo de $9$ (y de $3$ ); así que todo depende de la suma de las cifras.