La derivada - qué es y de dónde sale

Para qué sirve esto

La derivada mide cómo de rápido cambia algo en un instante concreto:

• la velocidad de un coche en el segundo $t = 5$ (no la media del viaje);
• lo que crece una planta ahora mismo;
• cuánto sube el coste al fabricar una unidad más;
• cómo de empinada es una cuesta justo en el punto donde estás.

Es la idea más importante del cálculo, y sale directamente de los límites. Aquí construimos la definición desde cero, sin fórmulas mágicas. (En el capítulo siguiente aprenderás las reglas que la hacen rápida.)

Necesitas: límites (capítulos anteriores) y la pendiente de una recta (capítulo Función lineal, N4).

Tasa de variación media

Si un coche recorre $s(t)$ metros en $t$ segundos, su velocidad media entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ es

$$\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{\text{distancia recorrida}}{\text{tiempo empleado}}$$

En general, para una función $f$ entre $x = a$ y $x = b$:

De la media a la instantánea

¿Y la velocidad exactamente en $t = 2$? No podemos usar $\frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}$ con tiempo $0$ ($\frac{0}{0}$). Pero sí podemos usar intervalos cada vez más pequeños que empiecen en $t = 2$:

Los valores se acercan a $20$ m/s. Esa es la velocidad instantánea en $t = 2$: el límite de las velocidades medias cuando el intervalo se encoge a cero.

Definición de derivada

Llamamos $h$ a la longitud del intervalo (a partir de $a$). Entonces

El cociente $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se llama cociente incremental: es la TVM entre $a$ y $a + h$.

Otras formas de escribirla: $f'(a)$, $\dfrac{df}{dx}(a)$ o $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x = a}$. Para el tiempo, a veces $\dot{s}$. Todas significan lo mismo.

Interpretación geométrica: la pendiente de la tangente

Al hacer $h$ cada vez más pequeño, la recta secante (que corta a la curva en dos puntos) gira hasta convertirse en la recta tangente (que solo "roza" la curva en $(a, f(a))$).

Calcular derivadas con la definición

Método en cuatro pasos:

La función derivada

Hacer esto en cada punto sería eterno. En vez de un número concreto $a$, dejamos la $x$ libre:

Con este mismo método se obtiene:

Hay un patrón claro; en el siguiente capítulo lo generalizaremos con reglas, para no tener que usar la definición cada vez.

Derivabilidad y continuidad

Errores típicos