Continuidad y asíntotas

Para qué sirve esto

Una función es continua cuando puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Es una propiedad muy útil: si una función es continua, calcular su límite es solo sustituir, y muchos teoremas importantes del cálculo lo exigen.

Además, en este capítulo estudiaremos las asíntotas: las rectas a las que la gráfica se pega en el infinito o cerca de un valor prohibido. Junto a la continuidad, te permiten dibujar una función con bastante precisión.

Necesitas los límites y los límites laterales de los capítulos anteriores.

Funciones continuas

Son continuas en todo su dominio (sin saltos ni huecos):

• Polinomios: $x^2 - 3x + 1$ (continuos en todo $\mathbb{R}$).
• Fracciones de polinomios: continuas salvo donde el denominador se anula.
• Raíces (donde tienen sentido), exponenciales, logaritmos (para $x > 0$), seno y coseno.
• Sumas, productos, cocientes (denominador $\neq 0$) y composiciones de funciones continuas.

Continuidad en un punto

En una frase: lo que la función "promete" al acercarse (el límite) coincide con lo que "cumple" en el punto (el valor).

Tipos de discontinuidad

Cuando falla la continuidad se dice que hay una discontinuidad. Hay tres tipos:

1. Evitable: el límite existe, pero $f(a)$ no existe o vale otra cosa. Se "arregla" con un solo punto.

2. De salto (finito): los límites laterales existen pero son distintos.

3. Infinita (asintótica): algún lateral tiende a $\pm\infty$. Hay una asíntota vertical.

Continuidad de funciones a trozos

Una función a trozos cambia de fórmula según el valor de $x$. Solo puede fallar la continuidad en los puntos donde cambia de fórmula (los demás trozos son continuos por sí mismos). Se comprueba igualando los límites laterales con el valor.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca indefinidamente sin (normalmente) llegar a tocarla.

Verticales

$x = a$ es asíntota vertical si $\displaystyle \lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty$ (al menos por un lado).

En fracciones, ocurre en los valores que anulan el denominador (y no el numerador).

Horizontales

$y = L$ es asíntota horizontal si $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.

Para fracciones de polinomios: se calcula con la regla de los grados del capítulo anterior (mismos grados: cociente de coeficientes principales; numerador de menor grado: $y = 0$).

Oblicuas

Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, no hay horizontal y puede haber oblicua $y = mx + n$, con $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \infty} \big(f(x) - mx\big).$$

(Truco: al dividir los polinomios, el cociente es la asíntota oblicua. Por ejemplo $\dfrac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$, así que la oblicua es $y = x + 1$.)

El teorema de Bolzano

Intuitivamente: si dibujas sin levantar el lápiz y empiezas debajo del eje $x$ y terminas encima, tienes que cruzarlo en algún punto.

Errores típicos