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Regla de la cadena

Cómo derivar funciones compuestas (una función dentro de otra) - la regla de la cadena, derivadas de potencias, exponenciales, logaritmos y trigonométricas de una expresión, varias capas y combinación con producto y cociente.

⏱ 75 min ✎ 10 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Reglas de derivaciónComposición e inversa de funciones

Para qué sirve esto

Hasta ahora derivamos x3x^3, sin⁡x\sin x, exe^x… pero en la vida real las funciones vienen combinadas: sin⁡(x2)\sin(x^2), e−3xe^{-3x}, x2+1\sqrt{x^2 + 1}, (2x+1)5(2x + 1)^5. Ninguna está en la tabla del capítulo anterior, porque dentro no hay una simple xx, sino una expresión.

La regla de la cadena es la herramienta para derivar estas funciones compuestas. Es, con diferencia, la regla que más se usa en cálculo. Y la que más errores provoca, así que la tratamos con cuidado.

Necesitas: reglas de derivación (capítulo anterior) y composición de funciones (Composición e inversa, N4).

Funciones compuestas: capas

Una función compuesta es como una cebolla: capas dentro de capas. Por ejemplo, f(x)=(3x+1)5f(x) = (3x + 1)^5:

  • La capa interior (lo que va entre paréntesis): u=3x+1u = 3x + 1.
  • La capa exterior (lo que se le hace a uu): "elevar a 55", u5u^5.

Para evaluarla, primero haces el interior, luego el exterior. Para derivarla, se hace al revés: se pela la cebolla de fuera hacia dentro.

La regla de la cadena

Con la notación de Leibniz, llamando u=g(x)u = g(x), resulta muy natural: los "dudu" se "simplifican": dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Reglas básicas con cadena

La tabla del capítulo anterior, "con cadena" (donde uu es una expresión de xx y u′u' su derivada):

Función Derivada
unu^n n un−1⋅u′n\,u^{n-1} \cdot u'
u\sqrt{u} u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
eue^u eu⋅u′e^u \cdot u'
aua^u auln⁡a⋅u′a^u \ln a \cdot u'
ln⁡u\ln u u′u\dfrac{u'}{u}
sin⁡u\sin u cos⁡u⋅u′\cos u \cdot u'
cos⁡u\cos u −sin⁡u⋅u′-\sin u \cdot u'
tan⁡u\tan u u′cos⁡2u\dfrac{u'}{\cos^2 u}

Varias capas

A veces hay más de dos capas: se derivan de fuera hacia dentro multiplicando cada derivada.

Cadena junto con producto y cociente

Cuando hay además un producto o un cociente, se aplica primero la regla del producto (o cociente) y dentro de ella, la cadena en cada factor que lo necesite.

Errores típicos