Identidades y ecuaciones trigonométricas

Identidades y ecuaciones: la diferencia

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de $x$ (como $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ).
Una ecuación se cumple solo para algunos valores ( $\text{sen}\,x = \frac{1}{2}$ solo para ciertos ángulos).

Con las identidades se simplifican expresiones; con las ecuaciones se buscan ángulos.

La primera sale de Pitágoras en la circunferencia unidad ( $x^2 + y^2 = 1$ ).
La tercera sale de dividir la primera entre $\cos^2 x$ .
De la primera se despeja: $\text{sen}\,x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ y $\cos x = \pm\sqrt{1 - \text{sen}^2 x}$ (el signo lo decide el cuadrante).

Truco general: convertir todo a seno y coseno y simplificar como fracciones.

Buscamos los ángulos $x$ entre $0°$ y $360°$ (una vuelta) que cumplen la ecuación. Método:

Despeja la razón ( $\text{sen}\,x = k$ , $\cos x = k$ o $\tan x = k$ ).
Halla el ángulo de referencia $\beta$ (agudo) con la calculadora ( $\text{sen}^{-1}|k|$ , etc.).
Mira en qué cuadrantes tiene ese signo la razón y calcula los ángulos:

Como las razones se repiten cada vuelta, la solución general es sumar $360°\,k$ (o $180°\,k$ en la tangente), con $k$ entero.