Distribución normal

La campana de Gauss

Mide la altura de mil personas y haz un histograma: verás una campana. Pesos, notas de un examen grande, errores de medida, tiempos de reacción, la vida útil de bombillas… muchísimas magnitudes se reparten así: la mayoría de valores cerca de la media, y cada vez menos según te alejas. Esa forma se llama distribución normal (o campana de Gauss).

La distribución normal $N(\mu, \sigma)$

Una variable continua $X$ sigue una normal $N(\mu, \sigma)$ si su gráfica es una campana con:

• Centro en la media $\mu$ (que coincide con la mediana y la moda).
• Anchura determinada por la desviación típica $\sigma$: más $\sigma$, campana más ancha y baja.
• Simétrica respecto a $\mu$.
• Área total $= 1$: la probabilidad de que $X$ esté entre dos valores es el área bajo la curva entre ellos.

La regla del 68 – 95 – 99,7

En cualquier normal:

Tipificar: la normal estándar

Cada normal tiene su $\mu$ y su $\sigma$, y no se pueden tabular todas. Se traduce a una única: la normal estándar $N(0, 1)$, mediante la tipificación:

Usar la tabla de la normal estándar

La tabla da $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ (el área a la izquierda de $z$):

Otros valores muy usados: $\Phi(1{,}28) = 0{,}90$, $\Phi(1{,}645) = 0{,}95$, $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$.

Cómo se usan (la curva es simétrica):

Problemas

La normal como aproximación de la binomial

Cuando $n$ es grande ($np \geq 5$ y $nq \geq 5$), la binomial $B(n, p)$ se parece mucho a una normal con los mismos parámetros: $N(np,\ \sqrt{npq})$.

Errores típicos