Vectores

Para qué sirve esto

Un número describe cuánto de algo ("3 kg"). Un vector describe cuánto y hacia dónde: una fuerza de $10$ N hacia la derecha, un viento de $30$ km/h hacia el noreste, un desplazamiento de $5$ m hacia arriba.

Los vectores son el lenguaje de la física (fuerzas, velocidades), de los gráficos por ordenador y videojuegos (posiciones, rotaciones), y de la geometría (rectas, planos, ángulos). Además son la base del álgebra lineal, los siguientes capítulos de este nivel.

Necesitas: geometría analítica y trigonometría básica (N3).

Qué es un vector

Un vector se representa con una flecha y tiene:

• Módulo (longitud de la flecha),
• Dirección (la recta sobre la que está),
• Sentido (hacia qué lado apunta).

Se describe con sus componentes: cuánto avanza en cada eje. En el plano, $\vec{v} = (v_1, v_2)$; en el espacio, $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$.

Operaciones básicas

Con $\vec{u} = (u_1, u_2)$, $\vec{v} = (v_1, v_2)$ y un número $k$ (un escalar):

• Suma: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)$.
• Resta: $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1,\ u_2 - v_2)$.
• Producto por un escalar: $k\vec{u} = (k u_1,\ k u_2)$. Cambia el módulo (y el sentido si $k < 0$), pero no la dirección.

Vectores paralelos: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ si uno es múltiplo del otro: $\vec{v} = k\vec{u}$. Por ejemplo $(2, 3)$ y $(6, 9)$ (con $k = 3$).

Módulo y vector unitario

• $|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = 5$; $\quad|(1, 2, 2)| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
• Un vector unitario tiene módulo $1$. Para normalizar cualquier vector, se divide entre su módulo: $\hat{v} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$.

Producto escalar

Signo: si $\vec{u}\cdot\vec{v} > 0$, forman un ángulo agudo; si $< 0$, obtuso; si $= 0$, son perpendiculares (ortogonales).

Ángulo entre vectores

Despejando $\cos\theta$ de la fórmula: $$\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$

Producto vectorial

Solo en el espacio ($3$ componentes). El resultado es un vector perpendicular a los dos.

Ecuación de la recta

Una recta queda determinada por un punto $A$ y un vector director $\vec{d}$ (su dirección). Sus puntos son $P = A + t\,\vec{d}$ para cualquier número $t$:

Errores típicos