Función exponencial

Funciones que crecen cada vez más rápido

Una recta crece sumando lo mismo en cada paso. Pero hay fenómenos que crecen multiplicando: una bacteria que se divide en dos, luego en cuatro, en ocho…; un ahorro con interés compuesto; la difusión de un virus o de un rumor.

Mira cómo se comparan una suma constante y una multiplicación constante:

Al principio parecen iguales; luego la exponencial se dispara.

La función exponencial

Propiedades

Para $f(x) = a^x$:

• Dominio: todos los reales. Recorrido: $(0, +\infty)$: siempre positiva.
• Pasa por $(0, 1)$ (porque $a^0 = 1$) y por $(1, a)$.
• Nunca corta al eje $X$: la recta $y = 0$ es una asíntota horizontal.
• Si $a > 1$: creciente (crecimiento exponencial). Si $0 < a < 1$: decreciente (decaimiento).

Crecimiento y decaimiento: el modelo general

Casi todos los problemas usan esta forma:

$$f(x) = C \cdot a^x$$

• $C$ es el valor inicial (cuando $x = 0$).
• $a$ es el factor de cambio:
  • crece un $r\,\%$ por periodo: $a = 1 + \dfrac{r}{100}$ (crecimiento del $5\,\%$ → $a = 1{,}05$);
  • decrece un $r\,\%$ por periodo: $a = 1 - \dfrac{r}{100}$ (baja el $15\,\%$ → $a = 0{,}85$).

El número $e$

Existe un número especial, $e \approx 2{,}71828\ldots$, que aparece cuando el crecimiento es continuo (sin esperar a fin de año). Es la base natural de la exponencial: $f(x) = e^x$. Se define como el valor al que se acerca $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cuando $n$ crece. Lo usarás mucho en cálculo (su derivada es ella misma) y en los logaritmos.

Errores típicos