Series y sucesiones infinitas

Para qué sirve esto

¿Puede una suma con infinitos términos dar un número finito? Sorprendentemente, a veces sí:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 1$

Es la paradoja de Zenón: si caminas hacia una pared recorriendo cada vez la mitad de lo que te queda, das infinitos pasos... y aun así llegas. Las series son la herramienta para dar sentido a esas sumas. Aparecen al escribir decimales periódicos como fracciones, al modelar rebotes, intereses, y (en cursos superiores) al construir funciones como $e^x$ o $\sin x$ como "polinomios infinitos".

Necesitas: sucesiones (N4) y límites (capítulos anteriores).

Límite de una sucesión

Una sucesión es una lista $a_1, a_2, a_3, \ldots$ Su límite es el valor al que se acercan los términos cuando $n$ crece:

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

Sucesión $a_n$	Términos	Límite
$\dfrac{1}{n}$	$1;\ 0{,}5;\ 0{,}33;\ \ldots$	$0$
$\dfrac{n + 1}{n}$	$2;\ 1{,}5;\ 1{,}33;\ \ldots$	$1$
$\dfrac{3n + 1}{n}$	$4;\ 3{,}5;\ 3{,}33;\ \ldots$	$3$
$n^2$	$1;\ 4;\ 9;\ \ldots$	$+\infty$ (diverge)
$(-1)^n$	$-1;\ 1;\ -1;\ \ldots$	no existe (oscila)

Se calculan igual que los límites de funciones en el infinito (comparando grados, etc.). Si el límite es un número, la sucesión converge; si no, diverge.

Series: sumar infinitos términos

Ejemplo resuelto

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots

$N$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$S_N$	$0{,}5$	$0{,}75$	$0{,}875$	$0{,}9375$	$0{,}96875$

Las sumas parciales se acercan a $1$ : la serie converge a $1$ .

Sumas parciales de 1 + 1/2 + 1/4 + …: se acercan a 2 (línea verde) sin pasarse

La serie geométrica

Decimales periódicos

La serie armónica y otras

No toda serie con términos que tienden a $0$ converge. El ejemplo clásico es la serie armónica:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = +\infty$

Diverge, aunque tarde muchísimo (¡hacen falta más de $12\,000$ términos solo para llegar a $10$ !).

Por ejemplo, $\sum \frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{n^3}$ convergen; $\sum \frac{1}{n}$ y $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergen.

Condición necesaria de convergencia

Criterio del cociente

Para series sin fórmula de suma sencilla, se puede decidir la convergencia con el criterio del cociente: