Conjuntos

Para qué sirve esto

Un conjunto es, sencillamente, una colección de cosas. Parece algo trivial, pero es el "idioma" con el que se escribe casi toda la matemática: los números (naturales, enteros…), las soluciones de una ecuación, los sucesos de la probabilidad. Y además sirve en la vida real: ¿cuántos alumnos practican fútbol o baloncesto?, ¿qué clientes compraron el producto A y el B?

En este tema aprenderás a leer y escribir conjuntos, a operar con ellos y a resolver problemas de encuestas con diagramas de Venn.

Qué es un conjunto

Para decir que un elemento está o no en el conjunto se usan estos símbolos:

$$4 \in A \;\;(\text{"}4\text{ pertenece a }A\text{"}) \qquad\qquad 5 \notin A \;\;(\text{"}5\text{ no pertenece a }A\text{"})$$

Dos formas de describir un conjunto

• Por extensión: se listan todos los elementos. $\;A = \{2, 4, 6, 8\}$.
• Por comprensión: se da la propiedad que cumplen. $\;A = \{x \mid x \text{ es un número par mayor que } 0 \text{ y menor que } 10\}$ (se lee: "los $x$ tales que…").

Por extensión es más cómodo con pocos elementos; por comprensión, cuando hay muchos o infinitos.

Cosas que conviene tener claras

• El orden no importa: $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$.
• Las repeticiones no cuentan: $\{1, 2, 2, 3, 3\} = \{1, 2, 3\}$. Un elemento está o no está.
• Cardinal: el número de elementos de $A$ se escribe $n(A)$ o $|A|$. Si $A = \{2, 4, 6, 8\}$, entonces $n(A) = 4$.
• Conjunto vacío: el que no tiene ningún elemento, $\varnothing$ o $\{\ \}$. ($\{\varnothing\}$ no es vacío: tiene un elemento.)
• Un conjunto puede ser finito (como $\{2,4,6,8\}$) o infinito (como los números naturales).

Subconjuntos y conjunto universal

$A$ es subconjunto de $B$ ($A \subseteq B$) si todos los elementos de $A$ están también en $B$. Por ejemplo, $\{2, 4\} \subseteq \{2, 4, 6, 8\}$. Además:

• Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: $A \subseteq A$.
• El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto: $\varnothing \subseteq A$.

El conjunto universal $U$ es el conjunto "grande" que contiene todos los elementos con los que estamos trabajando en cada problema (por ejemplo, todos los alumnos de una clase).

Operaciones con conjuntos

Para ilustrarlas usaremos siempre estos conjuntos, dentro del universo $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$:

$$A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \qquad B = \{4, 5, 6, 7\}$$

Los diagramas de Venn dibujan cada conjunto como un círculo dentro de un rectángulo (el universo). Lo que está en la zona compartida pertenece a los dos.

Intersección: $A \cap B$ (los que están en A y en B)

Los elementos comunes a los dos conjuntos.

$$A \cap B = \{4, 5\}$$

Unión: $A \cup B$ (los que están en A o en B, o en ambos)

Todos los elementos que están al menos en uno de los dos (los comunes se escriben una sola vez).

$$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$

Diferencia: $A - B$ (los que están en A pero no en B)

$$A - B = \{1, 2, 3\} \qquad\qquad B - A = \{6, 7\}$$

Fíjate en que el orden importa: $A - B \neq B - A$.

Complemento: $A'$ (todo lo que no está en A, dentro del universo)

$$A' = U - A = \{6, 7, 8\}$$

Problemas de encuestas: el cardinal de la unión

Si contamos $n(A) + n(B)$, los elementos comunes se cuentan dos veces. Por eso:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$