Productos notables

Para qué sirve esto

Hay productos de polinomios que aparecen tanto que conviene conocerlos de memoria: $(x + 5)^2$, $(x - 3)^2$, $(x + 4)(x - 4)$. Tienen un resultado con un patrón fijo que ahorra multiplicar cada vez, y al revés son la clave para factorizar (siguiente tema). También sirven para calcular de cabeza: $99^2$ o $51 \times 49$ salen en segundos.

El cuadrado de una suma

¿Por qué? Con un dibujo

Un cuadrado de lado $a + b$ tiene de área $(a + b)^2$. Se puede partir en cuatro zonas: un cuadrado $a^2$, otro $b^2$ y dos rectángulos $ab$:

El cuadrado de una diferencia

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Es igual que el anterior pero el término del medio es negativo. El último ($b^2$) siempre es positivo.

Suma por diferencia

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Al multiplicar una suma por la misma diferencia, los términos del medio se anulan ($-ab + ab = 0$) y queda la diferencia de cuadrados.

Otros productos útiles

• Producto de la forma $(x + a)(x + b)$: $$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$$ Suma de los números como coeficiente de $x$ y producto como término independiente. Ejemplo: $(x + 2)(x + 7) = x^2 + 9x + 14$.
• Cubo de una suma: $\;(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Para calcular de cabeza