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Integral indefinida y primitivas

La operación inversa de derivar - primitivas, la constante de integración, tabla de integrales básicas, linealidad, cómo reescribir antes de integrar y cómo hallar la constante con una condición inicial.

⏱ 75 min ✎ 10 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Reglas de derivación

Para qué sirve esto

Derivar responde a "conozco la posición, ¿cuál es la velocidad?". Integrar responde a la pregunta contraria: "conozco la velocidad, ¿cuál es la posición?". Es la operación inversa de derivar, como la resta lo es de la suma o la raíz de la potencia.

Sirve para recuperar una función a partir de su ritmo de cambio: el espacio a partir de la velocidad, la población a partir de su crecimiento, y (en dos capítulos) áreas bajo curvas.

Necesitas: reglas de derivación (todas: potencia, exponencial, trigonométricas…), porque integrar es "derivar al revés".

La operación inversa de derivar

Por qué aparece la constante C

Al derivar, las constantes desaparecen: (x2+5)′=(x2−3)′=(x2)′=2x(x^2 + 5)' = (x^2 - 3)' = (x^2)' = 2x. Al integrar volvemos hacia atrás y no sabemos qué constante había. Por eso escribimos + C+\,C ("cualquier constante").

Gráficamente: las primitivas de ff son curvas paralelas desplazadas verticalmente (mismas pendientes en cada xx).

−3−2−1123−4−22468xy
Tres primitivas de 2x: x², x² + 3 y x² − 3. Misma forma, distinta altura

Tabla de integrales básicas

Cada fila sale de la tabla de derivadas leída al revés:

Integral Resultado
∫k dx\displaystyle\int k\,dx kx+Ckx + C
∫xn dx\displaystyle\int x^n\,dx (n≠−1)(n \neq -1) xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫1x dx\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx ln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert + C
∫ex dx\displaystyle\int e^x\,dx ex+Ce^x + C
∫ax dx\displaystyle\int a^x\,dx axln⁡a+C\dfrac{a^x}{\ln a} + C
∫sin⁡x dx\displaystyle\int \sin x\,dx −cos⁡x+C-\cos x + C
∫cos⁡x dx\displaystyle\int \cos x\,dx sin⁡x+C\sin x + C
∫1cos⁡2x dx\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx tan⁡x+C\tan x + C
∫11+x2 dx\displaystyle\int \dfrac{1}{1 + x^2}\,dx arctan⁡x+C\arctan x + C

Regla de la potencia: "sube el exponente una unidad y divide entre el nuevo exponente". Es justo lo contrario de derivar (donde se baja el exponente y se multiplica).

Reglas de linealidad

  • Constante: ∫k f(x) dx=k∫f(x) dx\displaystyle\int k\,f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx. (Los números multiplicando salen fuera.)
  • Suma y resta: ∫(f±g) dx=∫f dx±∫g dx\displaystyle\int \big(f \pm g\big)\,dx = \int f\,dx \pm \int g\,dx. (Se integra término a término.)

Antes de integrar, reescribe

No existe (como en derivadas) una regla para el cociente o el producto de forma general. Así que reescribe primero en forma de sumas de potencias:

Hallar la constante: problemas de valor inicial

Si conocemos un dato de la función buscada, podemos determinar CC.

Errores típicos