Factorización de polinomios

Qué es factorizar

Con los números ya lo hiciste: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ (descomponer en factores primos). Con los polinomios pasa igual: factorizar es escribir un polinomio como un producto de polinomios más sencillos.

$x^2 - 9 \;=\; (x + 3)(x - 3)$

Es lo contrario de multiplicar (y de los productos notables, que acabas de ver). ¿Y para qué? Porque un producto es mucho más fácil de manejar que una suma: permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones de segundo grado y de grado mayor (si $A \cdot B = 0$ , entonces $A = 0$ o $B = 0$ )…

Factor común

Es el primer método y el que siempre se prueba antes. Si todos los términos comparten algo (un número, una letra, o ambos), se saca fuera de un paréntesis. Es la propiedad distributiva al revés:

$ab + ac = a(b + c)$

Cómo se hace:

Busca el mayor número que divide a todos los coeficientes (su MCD).
Busca cada letra que esté en todos los términos, con el menor exponente.
Escríbelo fuera y, dentro del paréntesis, divide cada término entre ese factor.

Agrupar términos

Cuando no hay factor común a todos los términos pero sí por parejas, se agrupan y aparece un paréntesis repetido que a su vez es factor común.

Identidades notables al revés

Las tres identidades del tema anterior, leídas de derecha a izquierda, son atajos para factorizar:

Si ves…	Se factoriza así
Diferencia de cuadrados $a^2 - b^2$	$(a + b)(a - b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a - b)^2$

Trinomios de segundo grado

Los de la forma $x^2 + bx + c$ (el coeficiente de $x^2$ es $1$ ). Como sabes, $(x + p)(x + q) = x^2 + (p + q)x + pq$ , así que hay que encontrar dos números $p$ y $q$ que:

multipliquen $c$ (el término independiente), y
sumen $b$ (el coeficiente de $x$ ).

Cuando el primer coeficiente no es 1

Para $ax^2 + bx + c$ se usa el método del producto $a \cdot c$ : buscas dos números que multipliquen $ac$ y sumen $b$ , con ellos partes el término del medio y agrupas.

Regla de Ruffini

Para polinomios de grado 3 o más se busca un número $r$ que anule el polinomio (una raíz: $P(r) = 0$ ). Si existe, entonces $(x - r)$ es un factor, y la regla de Ruffini hace la división de forma rápida.

¿Qué valores probar? Los divisores del término independiente (con ambos signos).

Ejemplo resuelto

x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Término independiente $6$ → probamos $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Con $x = 1$ : $\;1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓, así que $1$ es raíz. Dividimos con Ruffini:

	1	−2	−5	6
1		1	−1	−6
	1	−1	−6	0

Se baja el primer coeficiente; cada resultado se multiplica por $1$ y se suma a la columna siguiente. El resto es $0$ (¡debe serlo!) y el cociente es $x^2 - x - 6$ .

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$

Y $x^2 - x - 6$ es un trinomio: producto $-6$ , suma $-1$ → $-3$ y $2$ :

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

Estrategia completa

Cuando te den un polinomio y no sepas por dónde empezar, sigue este orden:

¿Factor común? Sácalo siempre primero.
¿Binomio? Si es $a^2 - b^2$ , diferencia de cuadrados.
¿Trinomio? ¿Cuadrado perfecto? Si no, busca dos números (suma y producto).
¿Cuatro términos? Prueba agrupando.
¿Grado 3 o más? Ruffini.
Mira si algún factor se puede seguir descomponiendo. Hasta que ya no se pueda.