Funciones trigonométricas y la circunferencia unidad

Más allá de los triángulos rectángulos

En el capítulo de razones trigonométricas solo usabas ángulos agudos (dentro de un triángulo rectángulo). Pero los ángulos pueden medir más de $90°$ , más de $360°$ (una rueda que da varias vueltas) o incluso ser negativos. Necesitamos una definición más general: la circunferencia unidad.

La circunferencia unidad

Es la circunferencia de radio $1$ centrada en el origen. Un ángulo $\alpha$ se mide desde el semieje $X$ positivo, girando en sentido contrario a las agujas del reloj (los ángulos negativos giran a favor).

Para α = 30°: P = (cos 30°, sen 30°) ≈ (0,866; 0,5)

Como el radio es $1$ , se cumple siempre $-1 \leq \text{sen}\,\alpha \leq 1$ y $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$ , y (por Pitágoras) $\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ .

Signo de las razones por cuadrantes

Cuadrante	Ángulo	$\text{sen}$ ( $y$ )	$\cos$ ( $x$ )	$\tan$
I	$0°$ – $90°$	$+$	$+$	$+$
II	$90°$ – $180°$	$+$	$-$	$-$
III	$180°$ – $270°$	$-$	$-$	$+$
IV	$270°$ – $360°$	$-$	$+$	$-$

Ángulos notables

Grados	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radianes	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\text{sen}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	no existe	$0$	no existe	$0$

Ángulos coterminales y reducción al primer cuadrante

Dos ángulos que se diferencian en vueltas completas ( $360°$ ) terminan en el mismo punto y tienen las mismas razones:

Para un ángulo del II, III o IV cuadrante, se reduce a uno del primer cuadrante (mismo valor, cambiando quizá el signo):

Cuadrante	Se escribe como	$\text{sen}$	$\cos$
II	$180° - \beta$	$+\,\text{sen}\,\beta$	$-\cos\beta$
III	$180° + \beta$	$-\,\text{sen}\,\beta$	$-\cos\beta$
IV	$360° - \beta$	$-\,\text{sen}\,\beta$	$+\cos\beta$

Ejemplo resueltoCon las tablas

$\text{sen}\,150°$ : $150° = 180° - 30°$ → $+\text{sen}\,30° = \frac{1}{2}$ .
$\cos 210°$ : $210° = 180° + 30°$ → $-\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866$ .
$\tan 135°$ : $135° = 180° - 45°$ : $\text{sen} = +\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ → $\tan = -1$ .
$\text{sen}\,300°$ : $300° = 360° - 60°$ → $-\text{sen}\,60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Las funciones seno, coseno y tangente

Si $x$ es el ángulo en radianes, las funciones $f(x) = \text{sen}\,x$ , $g(x) = \cos x$ y $h(x) = \tan x$ se pueden representar. Son periódicas: sus valores se repiten.

Seno y coseno: ondas de periodo 2π, entre −1 y 1 (el coseno es el seno desplazado π/2)

Propiedades del seno y el coseno:

Dominio: todos los reales. Recorrido: $[-1, 1]$ .
Periodo: $2\pi$ : $\text{sen}(x + 2\pi) = \text{sen}\,x$ .
$\text{sen}\,x$ es impar ( $\text{sen}(-x) = -\text{sen}\,x$ ) y $\cos x$ es par ( $\cos(-x) = \cos x$ ).
$\text{sen}\,x$ corta al eje $X$ en $0, \pi, 2\pi\ldots$ ; $\cos x$ , en $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\ldots$

La tangente tiene periodo π y asíntotas verticales donde cos x = 0

Periodo y amplitud

Para $y = A\,\text{sen}(b\,x)$ (igual con el coseno):

Amplitud $= |A|$ : cuánto sube y baja desde el eje (máximo $|A|$ , mínimo $-|A|$ ).
Periodo $= \dfrac{2\pi}{b}$ : la longitud de una onda completa.