Ecuaciones diferenciales básicas

Para qué sirve esto

Las leyes de la naturaleza casi nunca dicen "cuánto vale" algo, sino cómo cambia:

• "La población crece proporcionalmente a lo que hay."
• "Un café se enfría más rápido cuanto más caliente está."
• "La aceleración de un objeto que cae es constante."

Traducido: una relación entre una función y su derivada. Eso es una ecuación diferencial. Resolverla es recuperar la función a partir de la regla de su cambio. Es la culminación del cálculo: usa derivadas e integrales a la vez, y sirve para modelar casi cualquier fenómeno.

Necesitas: derivadas, integrales (indefinidas y definidas) y logaritmos/exponenciales.

Qué es una ecuación diferencial

Resolverla es encontrar todas las funciones $y(x)$ que la cumplen.

Solución general y particular

La solución de una ecuación diferencial contiene constantes arbitrarias (como la $+C$ de las primitivas).

• Solución general: la familia completa, con constantes ($y = Ce^{2x}$).
• Solución particular: una concreta, cuando se conoce una condición inicial que fija la constante (por ejemplo, $y(0) = 5$).

Un problema con ecuación y condición inicial se llama problema de valor inicial.

El caso más simple: integrar directamente

Si la ecuación es $y' = f(x)$ (solo depende de $x$), se resuelve integrando: $$y = \int f(x)\,dx + C$$

Variables separables

Muchas ecuaciones se pueden escribir como $y' = g(x)\,h(y)$. Truco: separar las variables (todo lo de $y$ a un lado con $dy$, todo lo de $x$ al otro con $dx$) e integrar ambos lados.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La ecuación más importante: el ritmo de cambio es proporcional a la cantidad.

(Se resuelve separando: $\frac{dy}{y} = k\,dt \Rightarrow \ln y = kt + C \Rightarrow y = y_0e^{kt}$.)

Más modelos

Ley de enfriamiento de Newton. La temperatura $T$ de un objeto cambia proporcionalmente a la diferencia con la del ambiente $T_a$: $$T' = -k\,(T - T_a) \quad \Longrightarrow \quad T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}$$ (El truco: $u = T - T_a$ cumple $u' = -ku$, una ley exponencial.)

Movimiento con aceleración constante. Si $a(t) = -10$ (gravedad, m/s$^2$, hacia arriba positivo), se integra dos veces:

• $v(t) = \int a\,dt = -10t + v_0$.
• $s(t) = \int v\,dt = -5t^2 + v_0 t + s_0$.

Errores típicos