Para qué sirve esto
Con la tabla de integrales básicas puedes hacer ∫ cos x d x \int \cos x\,dx ∫ cos x d x ∫ cos ( 3 x ) d x \int \cos(3x)\,dx ∫ cos ( 3 x ) d x ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 5 d x \int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 5 d x funciones compuestas . La técnica para resolverlas se llama sustitución (o cambio de variable), y es simplemente la regla de la cadena al revés .
Aprenderás a disfrazar la integral con una nueva variable u u u
Necesitas: la regla de la cadena y las integrales básicas (capítulos anteriores).
La idea: deshacer la regla de la cadena
Sabemos derivar: ( ( x 2 + 1 ) 6 ) ′ = 6 ( x 2 + 1 ) 5 ⋅ 2 x = 12 x ( x 2 + 1 ) 5 \big((x^2 + 1)^6\big)' = 6(x^2 + 1)^5 \cdot 2x = 12x\,(x^2 + 1)^5 ( ( x 2 + 1 ) 6 ) ′ = 6 ( x 2 + 1 ) 5 ⋅ 2 x = 12 x ( x 2 + 1 ) 5
Por tanto, al integrar 12 x ( x 2 + 1 ) 5 12x\,(x^2 + 1)^5 12 x ( x 2 + 1 ) 5 ( x 2 + 1 ) 6 + C (x^2 + 1)^6 + C ( x 2 + 1 ) 6 + C
Lo que ocurre es que el integrando tiene la forma "(algo)n ^n n ":
∫ f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C ( F ′ = f ) \int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C \qquad (F' = f) ∫ f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C ( F ′ = f )
Si llamamos u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x ) d u = g ′ ( x ) d x du = g'(x)\,dx d u = g ′ ( x ) d x ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \displaystyle\int f(u)\,du = F(u) + C ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C mucho más simple .
Método de sustitución
Método paso a paso Pasos
Elige u u u : normalmente lo que está "dentro" de otra función (dentro de un paréntesis, de una raíz, del exponente, del seno…).Calcula d u = u ′ d x du = u'\,dx d u = u ′ d x
Reescribe la integral entera en función de u u u (¡no debe quedar ninguna x x x Integra respecto de u u u Deshaz el cambio : sustituye u u u x x x Comprueba derivando.
Ejemplo resuelto ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 5 d x \displaystyle\int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 5 d x
Interior: u = x 2 + 1 u = x^2 + 1 u = x 2 + 1
d u = 2 x d x du = 2x\,dx d u = 2 x d x ∫ ( x 2 + 1 ) 5 ⋅ 2 x d x = ∫ u 5 d u \displaystyle\int (x^2 + 1)^5 \cdot 2x\,dx = \int u^5\,du ∫ ( x 2 + 1 ) 5 ⋅ 2 x d x = ∫ u 5 d u ∫ u 5 d u = u 6 6 \displaystyle\int u^5\,du = \dfrac{u^6}{6} ∫ u 5 d u = 6 u 6 Deshacemos: ( x 2 + 1 ) 6 6 + C \dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C 6 ( x 2 + 1 ) 6 + C
Caso sencillo: interior lineal
Cuando el interior es a x + b ax + b a x + b a a a
Definición Interior lineal
∫ f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C \int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax + b) + C ∫ f ( a x + b ) d x = a 1 F ( a x + b ) + C divide entre a a a .)
Patrones frecuentes
Definición Cuando arriba está la derivada de abajo
∫ u ′ u d x = ln ∣ u ∣ + C \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln\lvert u\rvert + C ∫ u u ′ d x = ln ∣ u ∣ + C
Ejemplo resuelto ∫ x e x 2 d x \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx ∫ x e x 2 d x
u = x 2 ⇒ d u = 2 x d x u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx u = x 2 ⇒ d u = 2 x d x 2 2 2 x d x = d u 2 x\,dx = \dfrac{du}{2} x d x = 2 d u ∫ e u d u 2 = 1 2 e u = e x 2 2 + C \displaystyle\int e^{u}\,\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}e^u = \dfrac{e^{x^2}}{2} + C ∫ e u 2 d u = 2 1 e u = 2 e x 2 + C
Ejemplo resuelto ∫ x x 2 + 1 d x \displaystyle\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx ∫ x x 2 + 1 d x u = x 2 + 1 u = x^2 + 1 u = x 2 + 1 x d x = d u 2 x\,dx = \dfrac{du}{2} x d x = 2 d u ∫ u d u 2 = 1 2 ⋅ 2 3 u 3 / 2 = ( x 2 + 1 ) 3 / 2 3 + C \displaystyle\int \sqrt{u}\,\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2} = \dfrac{(x^2 + 1)^{3/2}}{3} + C ∫ u 2 d u = 2 1 ⋅ 3 2 u 3/2 = 3 ( x 2 + 1 ) 3/2 + C
Ejemplo resuelto ∫ tan x d x \displaystyle\int \tan x\,dx ∫ tan x d x tan x = sin x cos x \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} tan x = cos x sin x u = cos x u = \cos x u = cos x d u = − sin x d x du = -\sin x\,dx d u = − sin x d x ∫ sin x cos x d x = − ∫ d u u = − ln ∣ cos x ∣ + C \displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \dfrac{du}{u} = -\ln\lvert\cos x\rvert + C ∫ cos x sin x d x = − ∫ u d u = − ln ∣ cos x ∣ + C
Cuando sobra una x
A veces, tras el cambio, queda una x x x que no es parte de d u du d u despeja x x x de la definición de u u u
Ejemplo resuelto ∫ x x + 1 d x \displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx ∫ x x + 1 d x
u = x + 1 ⇒ d u = d x u = x + 1 \Rightarrow du = dx u = x + 1 ⇒ d u = d x x = u − 1 x = u - 1 x = u − 1 ∫ ( u − 1 ) u 1 / 2 d u = ∫ ( u 3 / 2 − u 1 / 2 ) d u = 2 5 u 5 / 2 − 2 3 u 3 / 2 \displaystyle\int (u - 1)\,u^{1/2}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \dfrac{2}{5}u^{5/2} - \dfrac{2}{3}u^{3/2} ∫ ( u − 1 ) u 1/2 d u = ∫ ( u 3/2 − u 1/2 ) d u = 5 2 u 5/2 − 3 2 u 3/2 Deshacemos: 2 5 ( x + 1 ) 5 / 2 − 2 3 ( x + 1 ) 3 / 2 + C \dfrac{2}{5}(x + 1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x + 1)^{3/2} + C 5 2 ( x + 1 ) 5/2 − 3 2 ( x + 1 ) 3/2 + C
Ojo Si tras sustituir aún quedan
x x x , no sirve
Si al cambiar todo a u u u sigue habiendo una x x x que no puedes eliminar, esa sustitución no es buena. Prueba con otra u u u
Errores típicos
Error típico Cuidado con…
Dejar x x x u u u (todo debe quedar en u u u Olvidar el factor : si d u = 2 x d x du = 2x\,dx d u = 2 x d x x d x x\,dx x d x 1 2 \frac{1}{2} 2 1 No deshacer el cambio : la respuesta debe estar en x x x u u u Interior lineal sin dividir entre a a a : ∫ cos ( 3 x ) d x ≠ sin ( 3 x ) \int \cos(3x)\,dx \neq \sin(3x) ∫ cos ( 3 x ) d x = sin ( 3 x ) Elegir mal la u u u : suele ser lo de dentro cuya derivada aparece multiplicando.
En resumen
Sustitución = regla de la cadena al revés: u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x ) d u = g ′ ( x ) d x du = g'(x)\,dx d u = g ′ ( x ) d x u u u deshaz el cambio .Interior lineal: ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C \int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C ∫ f ( a x + b ) d x = a 1 F ( a x + b ) + C Patrón ∫ u ′ u d x = ln ∣ u ∣ + C \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C ∫ u u ′ d x = ln ∣ u ∣ + C Si sobra una constante, se compensa; si sobra una x x x despeja de u u u
Comprueba derivando.