Ecuaciones de segundo grado

Qué es una ecuación de segundo grado

Es una ecuación donde la incógnita aparece elevada al cuadrado (y no más). Se dice que está en forma general cuando todo está en un miembro y el otro vale $0$ :

$ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)$

$a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes: $a$ acompaña a $x^2$ , $b$ a $x$ , y $c$ es el término independiente.

Ecuaciones incompletas

Cuando falta $b$ o $c$ no hace falta la fórmula: hay atajos más rápidos.

Falta $b$ : $\;ax^2 + c = 0$ → despejar $x^2$

Falta $c$ : $\;ax^2 + bx = 0$ → factor común

La fórmula general

Vale para cualquier ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ :

Cómo usarla sin equivocarte:

Pasa todo a la forma general e identifica $a$ , $b$ , $c$ con su signo.
Calcula primero el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Sustituye y calcula las dos soluciones.

El discriminante decide

Antes de resolver, $\Delta = b^2 - 4ac$ ya te dice cuántas soluciones reales hay:

Discriminante	Soluciones reales
$\Delta > 0$	dos distintas
$\Delta = 0$	una (doble): $x = \dfrac{-b}{2a}$
$\Delta < 0$	ninguna (no se puede hacer la raíz de un negativo)

Suma y producto de las soluciones

Si $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de $x^2 + bx + c = 0$ (con $a = 1$ ):

$x_1 + x_2 = -b \qquad x_1 \cdot x_2 = c$

Sirve para comprobar tus soluciones y para construir ecuaciones a partir de sus raíces:

$x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 x_2 = 0$

Ecuaciones que hay que preparar

Problemas

Casi siempre salen dos soluciones y una no tiene sentido en la situación real (una longitud negativa, una edad negativa…). Hay que descartarla.