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Cálculo de límites

Cómo calcular límites sin tablas - propiedades, sustitución directa, la indeterminación 0/0 (factorizar y conjugado), número entre cero y límites en el infinito de fracciones.

⏱ 75 min ✎ 10 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:La idea de límiteFactorización de polinomios

Para qué sirve esto

En el capítulo anterior estimamos límites con tablas: funciona, pero es lento y poco preciso. Aquí aprenderás un método exacto: trabajar con la fórmula. Casi todos los límites de este nivel salen con tres ideas:

  1. Sustituir el valor de xx (y esperar que no dé problemas).
  2. Si sale 00\frac{0}{0}, simplificar la fracción (factorizar o usar el conjugado) y volver a sustituir.
  3. Si x→∞x \to \infty, mirar qué término manda.

Necesitas saber factorizar (N2) y la idea de límite (capítulo anterior).

Propiedades de los límites

Si lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L y lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M (números reales), entonces:

Operación Límite
Suma / resta lim⁡(f±g)=L±M\lim (f \pm g) = L \pm M
Producto por un número lim⁡(k⋅f)=k⋅L\lim (k \cdot f) = k \cdot L
Producto lim⁡(f⋅g)=L⋅M\lim (f \cdot g) = L \cdot M
Cociente lim⁡fg=LM\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{L}{M} (si M≠0M \neq 0)
Potencia y raíz lim⁡fn=Ln\lim f^n = L^n ; lim⁡fn=Ln\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L} (si tiene sentido)

En palabras: el límite "respeta" las operaciones: puedes calcular el límite de cada trozo y luego operar.

Sustituir directamente

Para las funciones "normales" (polinomios, raíces, exponenciales, senos… en los puntos donde están definidas) el límite en aa es simplemente f(a)f(a). Son las funciones continuas (las estudiamos en el próximo capítulo).

Regla de oro: siempre sustituye primero. Según el resultado:

Sale… Significa
Un número ¡Ese es el límite!
00\frac{0}{0} Indeterminación: hay que trabajar (siguiente sección)
k0\frac{k}{0} con k≠0k \neq 0 Se dispara al infinito: mirar los laterales

Cuando sale cero entre cero

00\frac{0}{0} no es un número. Significa que numerador y denominador se anulan a la vez, y suele ser porque tienen un factor común (x−a)(x - a) que provoca el 00. La solución: quitar ese factor (simplificar) y sustituir de nuevo.

Recuerda: el límite no mira el punto x=ax = a en sí, así que podemos simplificar x−ax−a=1\frac{x - a}{x - a} = 1 (para x≠ax \neq a) sin miedo.

Factorizar

Multiplicar por el conjugado

Cuando hay raíces no se puede factorizar directamente. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado (el mismo binomio con signo cambiado) para aprovechar (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.

(Compara con el ejemplo de la tabla del capítulo anterior: x+4−2x→14\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \to \frac{1}{4}, con este mismo método.)

Número entre cero

Si al sustituir sale k0\dfrac{k}{0} con k≠0k \neq 0, no hay indeterminación: el denominador diminuto hace la fracción enorme. Hay que estudiar el signo por cada lado.

Límites en el infinito de fracciones

Con x→∞x \to \infty una fracción de polinomios da ∞∞\frac{\infty}{\infty} (indeterminación). Truco: dividir numerador y denominador por la mayor potencia de xx del denominador. Todo lo que quede como kxn\frac{k}{x^n} tiende a 00.

Atajo, según los grados de numerador (nn) y denominador (mm):

Comparación Límite en ±∞\pm\infty Ejemplo
n<mn < m 00 3x+1x2+5→0\dfrac{3x + 1}{x^2 + 5} \to 0
n=mn = m cociente de los coeficientes principales 3x2+5x2x2−1→32\dfrac{3x^2 + 5x}{2x^2 - 1} \to \dfrac{3}{2}
n>mn > m ±∞\pm\infty (depende del signo) x3+12x2→+∞\dfrac{x^3 + 1}{2x^2} \to +\infty

Errores típicos