Recta tangente y velocidad de cambio

Para qué sirve esto

Ya sabes calcular derivadas. Ahora las usamos. La derivada aparece cada vez que alguien pregunta "¿a qué ritmo cambia esto?":

• la recta que roza una curva en un punto (tangente);
• la velocidad y la aceleración de un móvil;
• cuánto cuesta producir una unidad más;
• estimaciones rápidas sin calculadora (aproximación lineal).

Necesitas derivar (capítulos anteriores) y conocer la ecuación de la recta en forma punto-pendiente (Geometría analítica, N3).

La recta tangente

La tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x = a$ es la recta que pasa por $\big(a, f(a)\big)$ y tiene pendiente $f'(a)$. Usando la forma punto-pendiente:

La recta normal

La normal es la recta perpendicular a la tangente en el mismo punto. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes $m_1$ y $m_2$ con $m_1 \cdot m_2 = -1$; es decir, la pendiente de la normal es

$$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)} \quad (\text{si } f'(a) \neq 0)$$

Velocidad y aceleración

Si $s(t)$ es la posición en el instante $t$:

• $v > 0$: se mueve en sentido positivo; $v < 0$: en sentido contrario; $v = 0$: está parado un instante (o gira).
• $a > 0$: la velocidad aumenta; $a < 0$: disminuye (frena).

Otras tasas de variación

La derivada mide cuánto cambia $y$ por cada unidad que aumenta $x$, en cualquier contexto. La unidad de $f'$ es "unidades de $y$ por unidad de $x$".

Aproximación lineal

Cerca de $a$, la curva y su tangente casi coinciden. Por eso podemos estimar valores de $f$ usando la tangente, que es mucho más fácil de calcular:

$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h \qquad (h \text{ pequeño})$$

Errores típicos