Vuelve a Mates

Operaciones con números enteros

Sumar, restar, multiplicar y dividir con números negativos - por qué "menos por menos es más", cómo quitar paréntesis y cómo resolver operaciones combinadas sin perder un signo.

⏱ 55 min ✎ 10 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Números enteros - positivos y negativos

Para qué sirve esto

Los signos son el error número uno de quien vuelve a las matemáticas: un menos que se pierde, un "menos por menos" que se duda. La buena noticia es que todo se reduce a unas pocas ideas, y que se pueden entender (no hace falta memorizar a ciegas). En este tema vemos las cuatro operaciones con enteros, con el sentido detrás de cada regla.

Sumar enteros

Piensa en ganar y deber: un número positivo es dinero que tienes; uno negativo, dinero que debes.

  • Mismo signo: las cantidades se acumulan. Debes 77 y debes 55 más: debes 1212. Se suman los valores absolutos y se mantiene el signo.

    (−7)+(−5)=−127+5=12(-7) + (-5) = -12 \qquad\qquad 7 + 5 = 12

  • Distinto signo: las cantidades se compensan. Tienes 55 y debes 77: tras pagar, aún debes 22. Se restan los valores absolutos y el resultado lleva el signo del que tiene mayor valor absoluto.

    (−7)+5=−27+(−12)=−5(−4)+4=0(-7) + 5 = -2 \qquad\qquad 7 + (-12) = -5 \qquad\qquad (-4) + 4 = 0

En la recta: sumar un número positivo es avanzar a la derecha; sumar un negativo, retroceder a la izquierda.

−6−5−4−3−2−101234562−3+(−5)
2 + (−5) = −3: desde el 2 retrocedemos 5

Restar enteros

5−3=5+(−3)=25−(−3)=5+3=8−5−3=−5+(−3)=−85 - 3 = 5 + (-3) = 2 \qquad\qquad 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \qquad\qquad -5 - 3 = -5 + (-3) = -8

¿Por qué 5−(−3)=85 - (-3) = 8? Piensa en temperaturas: de −3 °-3\,°C a 5 °5\,°C hay 88 grados de diferencia, y esa diferencia es justo 5−(−3)5 - (-3). O en deudas: quitarte una deuda de 33 € es como regalarte 33 €.

Quitar paréntesis

Un signo delante de un paréntesis actúa sobre el número de dentro:

Escribes Equivale a Ejemplo
+(+3)+(+3) +3+3 5+(+3)=5+35 + (+3) = 5 + 3
+(−3)+(-3) −3-3 5+(−3)=5−35 + (-3) = 5 - 3
−(+3)-(+3) −3-3 5−(+3)=5−35 - (+3) = 5 - 3
−(−3)-(-3) +3+3 5−(−3)=5+35 - (-3) = 5 + 3

Regla: dos signos iguales seguidos dan ++; dos signos distintos dan −-.

Multiplicar y dividir: la regla de los signos

(−6)⋅(−7)=42(−6)⋅7=−42(−24):(−8)=324:(−8)=−3(-6) \cdot (-7) = 42 \qquad (-6) \cdot 7 = -42 \qquad (-24) : (-8) = 3 \qquad 24 : (-8) = -3

¿Por qué "menos por menos es más"?

No es un capricho: es lo único que mantiene el orden de las multiplicaciones. Mira este patrón; cada vez que el segundo factor baja una unidad, el resultado sube 33:

(−3)⋅2=−6(−3)⋅1=−3(−3)⋅0=0(−3)⋅(−1)=−3(−3)⋅(−2)=−6\begin{aligned}(-3) \cdot 2 &= -6\\ (-3) \cdot 1 &= -3\\ (-3) \cdot 0 &= 0\\ (-3) \cdot (-1) &= \phantom{-}3\\ (-3) \cdot (-2) &= \phantom{-}6\end{aligned}

Para que el patrón siga, (−3)⋅(−1)(-3) \cdot (-1) tiene que ser +3+3 y (−3)⋅(−2)=+6(-3) \cdot (-2) = +6.

Operaciones combinadas

Se mantiene la jerarquía: paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas (de izquierda a derecha). Cuidado en cada paso con el signo.