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Integración por partes

Cómo integrar productos de funciones con la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du - de dónde sale, cómo elegir u y dv (regla LIATE), ejemplos con exponenciales, trigonométricas y logaritmos, y cuándo hay que repetirla.

⏱ 80 min ✎ 9 ejercicios corregidos paso a paso
Antes conviene tener claro:Integral indefinida y primitivas

Para qué sirve esto

¿Cómo integras ∫x ex dx\int x\,e^x\,dx? No hay una fórmula de la tabla, y la sustitución no funciona (no hay una función y su derivada multiplicándose). Es un producto de dos funciones distintas: un polinomio xx por una exponencial.

Para estos casos existe la integración por partes, que es la regla del producto al revés (igual que la sustitución era la regla de la cadena al revés).

Necesitas: regla del producto, integrales básicas y sustitución.

De dónde sale la fórmula

La regla del producto dice: (u v)′=u′ v+u v′(u\,v)' = u'\,v + u\,v'. Integrando los dos lados: u v=∫u′ v dx+∫u v′ dxu\,v = \int u'\,v\,dx + \int u\,v'\,dx Despejando la segunda integral: ∫u v′ dx=u v−∫u′ v dx\int u\,v'\,dx = u\,v - \int u'\,v\,dx

En notación abreviada (du=u′ dxdu = u'\,dx y dv=v′ dxdv = v'\,dx):

La idea: cambiamos la integral difícil ∫u dv\int u\,dv por otra ∫v du\int v\,du que esperamos más fácil.

Cómo elegir u y dv

Buscamos que uu se simplifique al derivar y que dvdv sea fácil de integrar. Regla mnemotécnica LIATE: elige como uu el primero que aparezca en esta lista:

Letra Tipo Ejemplo
L Logarítmicas ln⁡x\ln x
I Inversas trigonométricas arctan⁡x\arctan x
A Algebraicas (polinomios) xx, x2x^2
T Trigonométricas sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x
E Exponenciales exe^x

Lo que queda se toma como dvdv.

Ejemplos resueltos

Cuando hay que repetir

Si al aplicar la fórmula aparece otra integral que también es un producto (por ejemplo, con x2x^2), se vuelve a aplicar por partes: cada vez baja el grado del polinomio.

Errores típicos