Derivadas parciales · Vuelve a Mates

Para qué sirve esto

En la vida real, casi nada depende de una sola cosa:

El beneficio depende del precio y de la publicidad.
La temperatura en un punto depende de la latitud y de la longitud (y de la altura y del tiempo).
La altura de un terreno depende de la posición $(x, y)$ .
El volumen de un cilindro depende del radio y de la altura.

Para estudiar cómo cambia una función respecto de cada variable, existen las derivadas parciales. Son la base de la optimización en varias variables, del aprendizaje automático (el descenso del gradiente entrena redes neuronales) y de la física (campos, calor, fluidos).

Necesitas: reglas de derivación y regla de la cadena (N6) y vectores (capítulo anterior).

Funciones de varias variables

Una función de dos variables $f(x, y)$ asigna a cada punto del plano un número: $f(x, y) = x^2 + y^2$ da $f(1, 2) = 5$ . Su gráfica es una superficie en el espacio, con altura $z = f(x, y)$ . Las curvas de nivel ( $f = \text{constante}$ ) son como las líneas de un mapa topográfico.

Qué es una derivada parcial

Interpretación: si te mueves solo en la dirección de $x$ (con $y$ fijo), $f_x$ es la pendiente de la superficie en ese corte.

Para f(x, y) = x² + y², el corte con y = 2 es la parábola x² + 4. En x = 1 su pendiente es fₓ(1, 2) = 2

Cómo se calculan

Regla práctica: para derivar respecto de $x$ , trata la $y$ como si fuera un número (una constante), y viceversa. Se usan las reglas de siempre.

El gradiente

Plano tangente

Igual que una curva tiene recta tangente, una superficie tiene plano tangente en un punto $(a, b)$ :

Derivadas de orden superior

Se pueden volver a derivar: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ y las cruzadas $f_{xy}$ (primero respecto de $x$ , luego de $y$ ) y $f_{yx}$ .

Teorema de Schwarz: si las derivadas segundas son continuas, las cruzadas coinciden: $f_{xy} = f_{yx}$ (el orden no importa).

Máximos y mínimos

Un punto crítico es donde el gradiente se anula: $\nabla f = (0, 0)$ , es decir, $f_x = 0$ y $f_y = 0$ a la vez. Para clasificarlo se usa el discriminante:

$D = f_{xx}\,f_{yy} - \big(f_{xy}\big)^2 \qquad\text{(en el punto crítico)}$

$D$	$f_{xx}$	Tipo de punto
$D > 0$	$> 0$	Mínimo relativo
$D > 0$	$< 0$	Máximo relativo
$D < 0$	(cualquiera)	Punto de silla (ni máximo ni mínimo)
$D = 0$	—	No se puede decidir

Regla de la cadena

Si $z = f(x, y)$ y además $x = x(t)$ , $y = y(t)$ dependen de un parámetro $t$ : $\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}$