Los números y el sistema decimal

Para qué sirve esto

Antes de sumar, restar o dividir conviene tener clara una idea que casi nadie explica bien: por qué escribimos los números como los escribimos. Cuando entiendes cómo está construido un número, las operaciones dejan de ser recetas que se memorizan y pasan a tener sentido. Además, casi todos los errores de cálculo de los adultos que retoman las matemáticas empiezan aquí: un cero que se olvida, una columna mal alineada, un número que se redondea "a ojo".

En este tema aprenderás a:

• distinguir entre cifra y número;
• calcular el valor de una cifra según el lugar que ocupa;
• leer y escribir números grandes sin dudar;
• comparar y ordenar números;
• redondear (algo que necesitarás para estimar, comprobar resultados y hacer cuentas de cabeza).

Los números naturales

Los números naturales son los que usamos para contar: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ Los puntos suspensivos indican que la lista no termina nunca: siempre hay un número más grande.

Sirven para dos cosas distintas:

• Contar cuántos hay: "hay 12 huevos".
• Ordenar: "llegué el 3.º".

El sistema decimal: diez cifras y una idea genial

Podemos escribir cualquier número, por grande que sea, usando solo diez símbolos, llamados cifras o dígitos:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$$

¿Y cómo sabemos cuánto vale cada cifra? Depende del lugar que ocupa. Por eso se llama sistema posicional. Y se llama decimal porque agrupamos de diez en diez: diez unidades forman una decena, diez decenas forman una centena, diez centenas forman un millar, y así sucesivamente.

La tabla de posiciones

Mirando el número de derecha a izquierda, cada posición vale diez veces más que la anterior:

Veamos el número $4\,372$ colocado en la tabla:

Por tanto:

$$4\,372 = 4\,000 + 300 + 70 + 2$$

A esto se le llama descomposición del número. Y de aquí sale la idea más importante del tema:

Ejemplos resueltos

Leer y escribir números

Para leer un número grande, se separa en grupos de tres cifras empezando por la derecha. Así se lee mucho más fácil:

$$\underbrace{2}_{\text{millones}}\ \underbrace{345}_{\text{miles}}\ \underbrace{678}_{\text{unidades}}\ \Longrightarrow\ \text{dos millones trescientos cuarenta y cinco mil seiscientos setenta y ocho}$$

Las cifras se agrupan con un espacio ($12\,345$) o con un punto ($12.345$); ambas formas son habituales. Cuando el número tiene solo 4 cifras se suele escribir junto ($4372$). Aquí usaremos el espacio, y tu respuesta puede llevar espacio, punto o nada: la web las entiende todas.

Comparar y ordenar números

Para comparar dos números naturales, sigue siempre este orden:

1. ¿Cuántas cifras tiene cada uno? El que tiene más cifras es mayor (siempre que no empiece por cero).
2. Si tienen las mismas cifras, compara de izquierda a derecha, cifra a cifra. En cuanto una sea distinta, esa decide.

Los símbolos son: $>$ (mayor que), $<$ (menor que) e $=$ (igual). Truco: la "boca" del símbolo se abre hacia el número mayor.

$$4\,021 < 4\,201 \qquad\qquad 4\,201 > 4\,021$$

Redondear

Redondear es sustituir un número por otro cercano y más sencillo, terminado en ceros. Lo usamos para estimar ("unos $3\,800$ asistentes") y para comprobar si un resultado tiene sentido.

Regla:

1. Decide a qué posición redondeas (decenas, centenas, millares…).
2. Mira la cifra inmediatamente a la derecha de esa posición.
3. Si es $5$ o más, la cifra de la posición sube una unidad. Si es $4$ o menos, se queda igual.
4. Todas las cifras a la derecha pasan a ser ceros.

Un vistazo a otros sistemas (curiosidad)

Los números romanos ($I, V, X, L, C, D, M$) no son posicionales: el valor de cada símbolo no depende de dónde esté ($X$ siempre vale $10$). Por eso es tan difícil hacer cuentas con ellos: no existe un símbolo para el cero ni un lugar para "llevarse" unidades. El sistema decimal posicional, inventado en la India y difundido por los árabes, es lo que hizo posible el cálculo tal como lo conocemos.

Errores típicos, de un vistazo