Tiras un dado. ¿Probabilidad de sacar un 6 6 6 1 6 \frac{1}{6} 6 1 "ha salido par" , la probabilidad ya no es la misma: quedan 3 3 3 2 , 4 , 6 2, 4, 6 2 , 4 , 6 6 6 6 1 3 \frac{1}{3} 3 1
Esa es la idea de la probabilidad condicionada : saber algo nuevo cambia lo que esperamos .
Probabilidad condicionada
Definición Probabilidad condicionada
La probabilidad de A A A sabiendo que ha ocurrido B B B es:
P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) ( P ( B ) > 0 ) P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) > 0) P ( A ∣ B ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) ( P ( B ) > 0 ) A A A B B B E E E solo B B B .
Tablas de doble entrada
Cuando los datos vienen en una tabla, P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P ( A ∣ B ) restringiéndote a la fila o columna de B B B
Ejemplo resuelto Chicos, chicas y fútbol
100 100 100
Fútbol
No fútbol
Total
Chicos 30 30 30 30 30 30 60 60 60
Chicas 10 10 10 30 30 30 40 40 40
Total 40 40 40 60 60 60 100 100 100
P ( f u ˊ tbol ∣ chico ) = 30 60 = 1 2 P(\text{fútbol} \mid \text{chico}) = \dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2} P ( f u ˊ tbol ∣ chico ) = 60 30 = 2 1 chicos ).P ( chico ∣ f u ˊ tbol ) = 30 40 = 3 4 P(\text{chico} \mid \text{fútbol}) = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} P ( chico ∣ f u ˊ tbol ) = 40 30 = 4 3 que juegan al fútbol ).
No son lo mismo : P ( A ∣ B ) ≠ P ( B ∣ A ) P(A \mid B) \neq P(B \mid A) P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A )
Regla del producto y diagramas de árbol
Despejando en la definición:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A )
Es el principio de multiplicación de las probabilidades: "A A A B B B = probabilidad de A A A por la de B B B sabiendo que ya ocurrió A A A .
Ejemplo resuelto Dos reyes seguidos, sin reposición
Se sacan dos cartas de la baraja española sin devolver la primera:
P ( 1.º rey ) = 4 40 = 1 10 P(\text{1.º rey}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} P ( 1.º rey ) = 40 4 = 10 1 P ( 2.º rey ∣ 1.º rey ) = 3 39 = 1 13 P(\text{2.º rey} \mid \text{1.º rey}) = \frac{3}{39} = \frac{1}{13} P ( 2.º rey ∣ 1.º rey ) = 39 3 = 13 1 39 39 39 3 3 3 P ( dos reyes ) = 1 10 ⋅ 1 13 = 1 130 P(\text{dos reyes}) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{130} P ( dos reyes ) = 10 1 ⋅ 13 1 = 130 1
Con reposición (devolviendo la carta) serían independientes: 1 10 ⋅ 1 10 = 1 100 \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} 10 1 ⋅ 10 1 = 100 1
Truco Reglas del árbol
A lo largo de una rama: se multiplica ("y").Entre ramas distintas: se suma ("o").Las probabilidades que salen de un mismo nodo suman 1 1 1 .
Sucesos independientes
A A A B B B independientes si saber B B B A A A P ( A ∣ B ) = P ( A ) ⟺ P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \mid B) = P(A) \qquad\Longleftrightarrow\qquad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P ( A ∣ B ) = P ( A ) ⟺ P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )
Ejemplo resuelto ¿Independientes?
P ( A ) = 0,4 P(A) = 0{,}4 P ( A ) = 0 , 4 P ( B ) = 0,5 P(B) = 0{,}5 P ( B ) = 0 , 5 P ( A ∩ B ) = 0,2 P(A \cap B) = 0{,}2 P ( A ∩ B ) = 0 , 2 0,4 ⋅ 0,5 = 0,2 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 0 , 4 ⋅ 0 , 5 = 0 , 2 sí son independientes. Si la intersección fuera 0,3 0{,}3 0 , 3 no .
Probabilidad total
Si el espacio se reparte en varias causas A 1 , A 2 , … A_1, A_2, \ldots A 1 , A 2 , … B B B suma por todas las ramas :
P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + ⋯ P(B) = P(A_1)\,P(B \mid A_1) + P(A_2)\,P(B \mid A_2) + \cdots P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + ⋯
Ejemplo resuelto Una fábrica
La máquina A A A 60 % 60\,\% 60 % B B B 40 % 40\,\% 40 % 2 % 2\,\% 2 % A A A 5 % 5\,\% 5 % B B B
Por A A A 0,6 ⋅ 0,02 = 0,012 0{,}6 \cdot 0{,}02 = 0{,}012 0 , 6 ⋅ 0 , 02 = 0 , 012
Por B B B 0,4 ⋅ 0,05 = 0,020 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}020 0 , 4 ⋅ 0 , 05 = 0 , 020
Total: P ( D ) = 0,012 + 0,020 = 0,032 P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032 P ( D ) = 0 , 012 + 0 , 020 = 0 , 032 3,2 % 3{,}2\,\% 3 , 2 %
Teorema de Bayes
A veces se pregunta al revés : "Si la pieza es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que venga de la máquina A A A P ( D ∣ A ) P(D \mid A) P ( D ∣ A ) P ( A ∣ D ) P(A \mid D) P ( A ∣ D )
Definición Teorema de Bayes
P ( A i ∣ B ) = P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P ( B ) P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)\,P(B \mid A_i)}{P(B)} P ( A i ∣ B ) = P ( B ) P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P ( B ) P(B) P ( B ) probabilidad total .
Ejemplo resuelto Continuación de la fábrica
P ( A ∣ D ) = 0,6 ⋅ 0,02 0,032 = 0,012 0,032 = 0,375 P(A \mid D) = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}032} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375 P ( A ∣ D ) = 0 , 032 0 , 6 ⋅ 0 , 02 = 0 , 032 0 , 012 = 0 , 375 A A A 60 % 60\,\% 60 % 37,5 % 37{,}5\,\% 37 , 5 %
Ejemplo resuelto Pruebas médicas: el resultado que sorprende
Una enfermedad afecta al 1 % 1\,\% 1 % 95 % 95\,\% 95 % también en el 5 % 5\,\% 5 %
Con frecuencias (imagina 10 000 10\,000 10 000
Enfermos: 100 100 100 95 95 95
Sanos: 9900 9900 9900 5 % ⋅ 9900 = 495 5\,\% \cdot 9900 = 495 5 % ⋅ 9900 = 495
Total de positivos: 95 + 495 = 590 95 + 495 = 590 95 + 495 = 590
P ( enfermo ∣ + ) = 95 590 ≈ 0,161 = 16,1 % P(\text{enfermo} \mid +) = \frac{95}{590} \approx 0{,}161 = 16{,}1\,\% P ( enfermo ∣ + ) = 590 95 ≈ 0 , 161 = 16 , 1 %
¡Solo el 16 % 16\,\% 16 % la mayoría de los positivos son falsos . Por eso se repiten las pruebas.
Ojo No confundir
P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P ( A ∣ B ) con
P ( B ∣ A ) P(B \mid A) P ( B ∣ A ) "La prueba acierta el 95 % 95\,\% 95 % P ( + ∣ enfermo ) = 0,95 P(+ \mid \text{enfermo}) = 0{,}95 P ( + ∣ enfermo ) = 0 , 95 No significa P ( enfermo ∣ + ) = 0,95 P(\text{enfermo} \mid +) = 0{,}95 P ( enfermo ∣ + ) = 0 , 95
Errores típicos
Error típico Cuidado con…
Confundir P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P ( A ∣ B ) P ( B ∣ A ) P(B \mid A) P ( B ∣ A ) Usar el mismo denominador con reposición y sin reposición (sin reposición baja el total).Olvidar sumar todas las ramas en la probabilidad total.Multiplicar probabilidades de ramas distintas (se suman) o sumar las de la misma rama (se multiplican).Creer que P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) P(A \cap B) = P(A)\,P(B) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) (solo si son independientes).Dividir entre P ( A ) P(A) P ( A ) en vez de entre P ( B ) P(B) P ( B ) P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P ( A ∣ B )
En resumen
P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} P ( A ∣ B ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) Árbol: multiplicar a lo largo de la rama, sumar entre ramas. Sin reposición: las probabilidades cambian.Independientes: P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A \mid B) = P(A) P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) P(A \cap B) = P(A)P(B) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Total: P ( B ) = ∑ P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B) = \sum P(A_i)P(B \mid A_i) P ( B ) = ∑ P ( A i ) P ( B ∣ A i ) Bayes: P ( A i ∣ B ) = P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P ( B ) P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)P(B \mid A_i)}{P(B)} P ( A i ∣ B ) = P ( B ) P ( A i ) P ( B ∣ A i )