Valor absoluto

Qué es el valor absoluto

Ya lo conoces desde el tema de los enteros: el valor absoluto de un número es su distancia al cero, sin importar hacia qué lado esté. Se escribe con dos barras: $|x|$.

$$|5| = 5 \qquad |-5| = 5 \qquad |0| = 0$$

Distancia entre dos puntos

La distancia entre $a$ y $b$ en la recta es $|a - b|$ (da igual el orden: $|a - b| = |b - a|$).

Propiedades

• $|a| \ge 0$ siempre, y $|a| = 0$ solo si $a = 0$.
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ y $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$.
• $|a + b| \le |a| + |b|$ (desigualdad triangular). ¡No es una igualdad!

Ecuaciones con valor absoluto

$|A| = k$ significa "la distancia de $A$ a $0$ es $k$". Según $k$:

Valor absoluto igual a otro

$|A| = |B|$ significa que $A$ y $B$ están a la misma distancia del cero: son iguales u opuestos.

Cuando el otro miembro lleva $x$

Si $|A| = B$ y $B$ tiene $x$, hay que comprobar que $B \ge 0$ (porque $|A|$ no puede ser negativo).

Inecuaciones con valor absoluto

Con el significado de distancia, se leen solas:

Aplicación: tolerancias

En fabricación, una pieza "de $50$ mm con tolerancia $\pm 0{,}2$ mm" es válida si su longitud $x$ cumple $$|x - 50| \le 0{,}2$$ es decir, $49{,}8 \le x \le 50{,}2$. El valor absoluto expresa a la vez el "por arriba" y el "por abajo".