Para qué sirve esto
La derivada dice cómo está cambiando una función. Con esa información podemos "leer" la gráfica sin dibujarla :
¿Dónde sube y dónde baja ?
¿Dónde alcanza su punto más alto o más bajo (máximos y mínimos)?
¿Cómo se curva (como una sonrisa o como un ceño)?
Es la base de los problemas de optimización (el siguiente capítulo): encontrar el mayor beneficio , el menor coste , la mayor área …
Necesitas derivar con soltura (capítulos anteriores) y resolver ecuaciones e inecuaciones (N2).
Crecimiento y decrecimiento
Recuerda: f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) sube (f ′ > 0 f' > 0 f ′ > 0 crece ; si baja (f ′ < 0 f' < 0 f ′ < 0 decrece .
Ejemplo resuelto f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = − 1 f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = − 1 x = 1 x = 1 x = 1 Tabla de signos:
Intervalo
Valor de prueba
f ′ f' f ′ f f f
( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) ( − ∞ , − 1 ) x = − 2 x = -2 x = − 2 3 ⋅ 4 − 3 = 9 3 \cdot 4 - 3 = 9 3 ⋅ 4 − 3 = 9 + + + Creciente ↗
( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) x = 0 x = 0 x = 0 − 3 -3 − 3 − - − Decreciente ↘
( 1 , ∞ ) (1, \infty) ( 1 , ∞ ) x = 2 x = 2 x = 2 12 − 3 = 9 12 - 3 = 9 12 − 3 = 9 + + + Creciente ↗
Máximos y mínimos
Un punto donde la función pasa de subir a bajar es un máximo relativo (una cima); donde pasa de bajar a subir , un mínimo relativo (un valle).
Definición Criterio de la primera derivada
Sea a a a f ′ ( a ) = 0 f'(a) = 0 f ′ ( a ) = 0
Si f ′ f' f ′ cambia de + + + − - − en a a a máximo relativo.
Si f ′ f' f ′ cambia de − - − + + + : mínimo relativo.
Si f ′ f' f ′ no cambia de signo : no es extremo.
En el ejemplo anterior: en x = − 1 x = -1 x = − 1 + + + − - − máximo , con f ( − 1 ) = − 1 + 3 = 2 f(-1) = -1 + 3 = 2 f ( − 1 ) = − 1 + 3 = 2 x = 1 x = 1 x = 1 − - − + + + mínimo , con f ( 1 ) = 1 − 3 = − 2 f(1) = 1 - 3 = -2 f ( 1 ) = 1 − 3 = − 2
−2 −1 1 2 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y máximo (−1, 2) mínimo (1, −2) inflexión (0, 0) f(x) = x³ − 3x: sube hasta el máximo, baja hasta el mínimo y vuelve a subir Curvatura y puntos de inflexión
La segunda derivada f ′ ′ = ( f ′ ) ′ f'' = (f')' f ′′ = ( f ′ ) ′ aumenta , la curva se dobla hacia arriba.
Definición Concavidad
f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x) > 0 f ′′ ( x ) > 0 convexa (forma de "∪ \cup ∪ debajo de la curva).f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x) < 0 f ′′ ( x ) < 0 cóncava (forma de "∩ \cap ∩ por encima ).Un punto de inflexión es donde f ′ ′ f'' f ′′ cambia de signo : la curva pasa de un tipo de curvatura al otro.
(Ojo: algunos libros usan los nombres al revés. Nosotros nos fijamos en la forma : ∪ \cup ∪ f ′ ′ > 0 f'' > 0 f ′′ > 0 ∩ \cap ∩ f ′ ′ < 0 f'' < 0 f ′′ < 0
Ejemplo resuelto Curvatura de
f ( x ) = x 3 − 6 x 2 f(x) = x^3 - 6x^2 f ( x ) = x 3 − 6 x 2
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x f'(x) = 3x^2 - 12x f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x f ′ ′ ( x ) = 6 x − 12 f''(x) = 6x - 12 f ′′ ( x ) = 6 x − 12 f ′ ′ = 0 ⇒ x = 2 f'' = 0 \Rightarrow x = 2 f ′′ = 0 ⇒ x = 2 Si x < 2 x < 2 x < 2 f ′ ′ < 0 f'' < 0 f ′′ < 0 ∩ \cap ∩ x > 2 x > 2 x > 2 f ′ ′ > 0 f'' > 0 f ′′ > 0 ∪ \cup ∪
Como cambia de signo, x = 2 x = 2 x = 2 punto de inflexión , con f ( 2 ) = 8 − 24 = − 16 f(2) = 8 - 24 = -16 f ( 2 ) = 8 − 24 = − 16
Definición Criterio de la segunda derivada
Si f ′ ( a ) = 0 f'(a) = 0 f ′ ( a ) = 0
f ′ ′ ( a ) > 0 f''(a) > 0 f ′′ ( a ) > 0 mínimo relativo en a a a ∪ \cup ∪ f ′ ′ ( a ) < 0 f''(a) < 0 f ′′ ( a ) < 0 máximo relativo en a a a ∩ \cap ∩ f ′ ′ ( a ) = 0 f''(a) = 0 f ′′ ( a ) = 0 no decide (usa la primera derivada).
Extremos en un intervalo cerrado
Si buscamos el máximo y mínimo absolutos en un intervalo [ a , b ] [a, b] [ a , b ]
los puntos críticos que caen dentro del intervalo, y
los extremos a a a b b b
El mayor de todos esos valores de f f f
Ejemplo resuelto f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x en
[ 0 , 2 ] [0, 2] [ 0 , 2 ]
Puntos críticos: x = ± 1 x = \pm 1 x = ± 1 x = 1 x = 1 x = 1 [ 0 , 2 ] [0, 2] [ 0 , 2 ]
Valores: f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = − 2 f(1) = -2 f ( 1 ) = − 2 f ( 2 ) = 8 − 6 = 2 f(2) = 8 - 6 = 2 f ( 2 ) = 8 − 6 = 2
Máximo absoluto: 2 2 2 (en x = 2 x = 2 x = 2 Mínimo absoluto: − 2 -2 − 2 (en x = 1 x = 1 x = 1
Estudio completo de una función
Reuniendo todo, para dibujar una función se sigue este guion:
Dominio y continuidad (¿dónde no está definida?).Cortes con los ejes : x = 0 x = 0 x = 0 y y y f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0 x x x Asíntotas (capítulo de continuidad).Crecimiento y extremos con f ′ f' f ′ Curvatura e inflexión con f ′ ′ f'' f ′′ Con esos datos, dibuja la gráfica.
Errores típicos
Error típico Cuidado con…
Creer que f ′ ( a ) = 0 f'(a) = 0 f ′ ( a ) = 0 (contraejemplo: x 3 x^3 x 3 0 0 0 f ′ f' f ′ Olvidar comparar los extremos del intervalo al buscar máximos absolutos.Confundir f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ : f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ Dar el valor de x x x (o viceversa): "el máximo vale 2 2 2 x = − 1 x = -1 x = − 1 Equivocar el signo de la tabla al probar valores: prueba con números fáciles y sustituye en f ′ f' f ′ factorizada .
En resumen
f ′ > 0 f' > 0 f ′ > 0 f ′ < 0 f' < 0 f ′ < 0 Puntos críticos: f ′ = 0 f' = 0 f ′ = 0 Máximo: f ′ f' f ′ + + + − - − f ′ ′ < 0 f'' < 0 f ′′ < 0 Mínimo: de − - − + + + f ′ ′ > 0 f'' > 0 f ′′ > 0 f ′ ′ > 0 f'' > 0 f ′′ > 0 ∪ \cup ∪ f ′ ′ < 0 f'' < 0 f ′′ < 0 ∩ \cap ∩ inflexión: f ′ ′ f'' f ′′ Extremos absolutos en [ a , b ] [a, b] [ a , b ] compara f f f a a a b b b Guion de estudio: dominio, cortes, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura, dibujo.