Dominio, recorrido y propiedades

Dominio y recorrido

No siempre se puede usar cualquier número en una función. Por ejemplo, en $f(x) = \frac{1}{x}$ no puedes poner $x = 0$ (¡no se divide entre cero!), y en $g(x) = \sqrt{x}$ no puedes poner $x = -4$ (no hay raíz real de un negativo).

Se escriben con intervalos (como en el capítulo de inecuaciones): $[2, +\infty)$ , $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$ …

Dominio de las funciones habituales

Tipo de función	Dominio
Polinomio ( $x^2 - 3x + 1$ , rectas…)	todos los reales: $(-\infty, +\infty)$
Fracción $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$	todos menos los $x$ que hacen $Q(x) = 0$
Raíz cuadrada $\sqrt{P(x)}$ (índice par)	los $x$ con $P(x) \geq 0$
Logaritmo $\log P(x)$ (lo verás pronto)	los $x$ con $P(x) > 0$

Leer dominio y recorrido en una gráfica

Dominio: proyecta la gráfica sobre el eje horizontal: ¿qué $x$ tienen curva encima o debajo?
Recorrido: proyecta sobre el eje vertical: ¿qué alturas $y$ alcanza?

f(x) = √(x + 2): dominio [−2, +∞) y recorrido [0, +∞)

Hipérbola y = 1/x: nunca toca los ejes (asíntotas). Dominio y recorrido: todos los reales menos el 0

Monotonía: crecimiento y decrecimiento

Creciente en un intervalo: al aumentar $x$ , $f(x)$ aumenta (la gráfica sube).
Decreciente: al aumentar $x$ , $f(x)$ disminuye (la gráfica baja).

Se describen siempre con intervalos del eje $X$ .

Decreciente en (−∞, 1) y creciente en (1, +∞)

Máximos, mínimos y cortes

Máximo (relativo): punto donde la función pasa de crecer a decrecer (una "cima").
Mínimo (relativo): de decrecer a crecer (un "valle").
Cortes con el eje $Y$ : $(0, f(0))$ . Con el eje $X$ : los $x$ con $f(x) = 0$ (los ceros).

Simetría: funciones pares e impares

Funciones definidas a trozos

A veces la fórmula cambia según el valor de $x$ :

$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Para calcular $f(a)$ , primero miras en qué tramo cae $a$ y usas esa fórmula.

El círculo vacío indica que el 0 NO pertenece a ese trozo; el relleno, que sí