Números primos y descomposición en factores

Para qué sirve esto

Los números primos son los "átomos" de los números: todo número se construye multiplicando primos, igual que toda molécula se construye con átomos. Saber descomponer un número en sus factores primos es la herramienta para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo (siguiente tema), simplificar fracciones difíciles y, más adelante, factorizar polinomios. Los primos también protegen tus contraseñas y tus pagos por internet.

Números primos y compuestos

Tres cosas que sorprenden:

• El $1$ NO es primo: solo tiene un divisor (él mismo). No cumple "dos divisores".
• El $2$ es el único primo par: todos los demás pares son divisibles por $2$, así que son compuestos.
• Hay infinitos primos (lo demostró Euclides hace más de $2\,000$ años): siempre hay uno más grande.

Los primos menores que $100$ son $25$:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97$$

¿Cómo saber si un número es primo?

Hay que comprobar si tiene algún divisor aparte del $1$ y de sí mismo. Pero no hace falta probar todos: basta con probar los números primos hasta la raíz cuadrada del número. Si ninguno lo divide, es primo.

¿Por qué hasta la raíz? Porque si un número tiene un divisor mayor que su raíz, su pareja es menor que la raíz (los divisores van por parejas, como vimos), y ya la habríamos encontrado.

Descomposición en factores primos

Método: divide el número entre el menor primo posible una y otra vez, hasta llegar a $1$. Se anotan los divisores.

Un pequeño aviso sobre notación: $\;2^3\;$ (se lee "dos al cubo") significa $2 \times 2 \times 2$, es decir, el $2$ multiplicado por sí mismo $3$ veces. Y $3^2 = 3 \times 3$. En el tema de potencias lo veremos con detalle; aquí solo nos sirve para escribir los repetidos en abreviado.

Una aplicación: contar los divisores

Si la descomposición de un número es $\;p^a \times q^b \times r^c$, su número de divisores es $\;(a + 1)(b + 1)(c + 1)$. Es decir: suma $1$ a cada exponente y multiplica.

Para $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$: $\;(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ divisores. Enumerarlos uno a uno habría sido larguísimo.