Monomios y polinomios

Para qué sirve esto

Los polinomios son las expresiones algebraicas "de toda la vida": $3x^2 - 2x + 7$. Aparecen en las áreas ($x^2$), en los costes ($\text{fijo} + \text{variable} \cdot x$), en las ecuaciones de segundo grado y, más adelante, en las funciones y en el cálculo. Aprender a operar con ellos es como aprender la tabla de multiplicar del álgebra: sin fluidez aquí, todo lo demás cuesta el doble.

Qué es un polinomio

Un polinomio se suele ordenar de mayor a menor grado (como está arriba) y se dice completo si tiene todos los grados desde el mayor hasta el $0$. El de arriba no es completo: le falta el término en $x^2$ (es como si fuera $4x^3 + 0x^2 - 2x + 7$).

Según el número de términos: monomio ($1$), binomio ($2$), trinomio ($3$).

Suma y resta de polinomios

Se agrupan los términos semejantes (mismo grado) y se suman o restan sus coeficientes. Los exponentes no cambian.

Multiplicación

Monomio por monomio

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las mismas letras: $\;a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$$3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5 \qquad\qquad (-2x)(5x^2y) = -10x^3y$$

Potencia de un monomio: se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes: $\;(2x^2)^3 = 2^3 \cdot x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.

Monomio por polinomio

Se multiplica el monomio por cada término (propiedad distributiva):

$$2x(3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x$$

Polinomio por polinomio

Se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se reducen los semejantes.

Truco visual: si el primero tiene $2$ términos y el segundo $2$, hay $2 \times 2 = 4$ productos. Contarlos ayuda a no dejar ninguno.

División

Monomio entre monomio

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes: $\;a^m : a^n = a^{m-n}$.

$$12x^5 : 4x^2 = 3x^3$$

Polinomio entre monomio

Se divide cada término del polinomio entre el monomio:

$$(6x^3 + 9x^2) : 3x = 2x^2 + 3x$$

Polinomio entre polinomio (división larga)

Funciona igual que la división de números: se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, se multiplica y se resta, y se repite.

Igual que con números, se cumple: $\;\text{dividendo} = \text{divisor} \cdot \text{cociente} + \text{resto}$, con el resto de menor grado que el divisor.