Raíces

Para qué sirve esto

Si un jardín cuadrado tiene $169$ m² de superficie, ¿cuánto mide su lado? Esa pregunta es una raíz cuadrada: buscar el número que al cuadrado da $169$. Las raíces son la operación inversa de las potencias, igual que la resta lo es de la suma o la división de la multiplicación. Las necesitarás para el teorema de Pitágoras, las ecuaciones de segundo grado, la desviación típica y muchas fórmulas de física.

Raíz cuadrada

Por ejemplo: $\sqrt{81} = 9$ porque $9^2 = 81$; $\;\sqrt{144} = 12$ porque $12^2 = 144$; $\;\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ porque $0{,}5^2 = 0{,}25$.

Al $a$ dentro de la raíz se le llama radicando. Los números cuya raíz cuadrada es exacta (un entero) se llaman cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\dots$

Raíces que no son exactas

La mayoría de las raíces no son exactas: $\sqrt{2}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{10}$… no son enteros ni fracciones (son irracionales: sus decimales no se acaban ni se repiten). Se pueden aproximar:

• Acotar entre dos enteros consecutivos. $\sqrt{50}$: como $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$, entonces $7 < \sqrt{50} < 8$ (y está muy cerca de $7$).
• Con la calculadora: $\sqrt{50} = 7{,}0710\ldots$ y $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$

Raíz cúbica y otras raíces

La raíz cúbica $\sqrt[3]{a}$ es el número que al cubo da $a$. Aquí sí se pueden hacer raíces de negativos, porque un negativo al cubo es negativo:

$$\sqrt[3]{27} = 3 \;(3^3 = 27) \qquad \sqrt[3]{-8} = -2 \;((-2)^3 = -8) \qquad \sqrt[3]{125} = 5$$

En general, $\sqrt[n]{a}$ es la raíz $n$-ésima ($n$ es el índice): el número que elevado a $n$ da $a$. En la raíz cuadrada el índice $2$ no se escribe.

Propiedades y simplificación

Simplificar una raíz: sacar factores

Si el radicando tiene un factor que es cuadrado perfecto, ese factor sale de la raíz. El método: descomponer en factores primos y sacar los que aparecen por parejas.