Integral definida y áreas

Para qué sirve esto

Ya sabes integrar hacia atrás (primitivas). Ahora aparece el motivo por el que existe la integral: medir áreas y, más en general, acumular cantidades:

el área encerrada bajo una curva o entre dos curvas;
la distancia recorrida conociendo la velocidad en cada instante;
el total de agua que ha salido de un grifo con caudal variable;
el valor medio de una magnitud que cambia (temperatura media del día).

El resultado más asombroso del cálculo es que derivar e integrar están conectados: el área se calcula con una primitiva. Es el teorema fundamental del cálculo.

Necesitas: integral indefinida (y sustitución), y funciones básicas.

El área bajo una curva

Para figuras con lados rectos sabemos calcular áreas. Para una curva como $y = x^2$ , la idea es aproximar con rectángulos y afinar.

Queremos el área bajo $y = x^2$ entre $x = 0$ y $x = 2$ . Dividimos $[0, 2]$ en $4$ tramos de ancho $0{,}5$ y ponemos rectángulos:

Cuatro rectángulos (altura en el extremo derecho): la suma se pasa del área real

Con la altura en el extremo derecho: $0{,}5 \cdot (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 0{,}5 \cdot 7{,}5 = 3{,}75$ (se pasa).
Con la altura en el extremo izquierdo: $0{,}5 \cdot (0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75$ (se queda corto).

El área real está entre $1{,}75$ y $3{,}75$ . Con más rectángulos (cada vez más finos) las dos estimaciones se acercan a un mismo valor: el área exacta. Ese límite se llama integral definida.

La integral definida

Si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$ , la integral es el área entre la curva, el eje $x$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ .

Si $f$ toma valores negativos, esas zonas cuentan con signo menos: la integral es un área con signo.

El teorema fundamental del cálculo

Calcular ese límite a mano es durísimo. Por suerte:

Es decir: primitiva evaluada en el extremo superior menos primitiva en el extremo inferior. La constante $C$ da igual (se cancela al restar).

Propiedades

Lineal: $\displaystyle\int_a^b \big(k f \pm g\big)\,dx = k\int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$ .
Aditiva: $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ (se puede trocear el intervalo).
Límites invertidos: $\displaystyle\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$ .
Intervalo vacío: $\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0$ .
Funciones impares ( $f(-x) = -f(x)$ ): $\displaystyle\int_{-a}^a f\,dx = 0$ (las partes positiva y negativa se cancelan).

Área y signo

Ejemplo resueltoÁrea entre

y = x^2 - 4

y el eje

x

, de

x = 0

x = 3

De 0 a 2 la curva está debajo del eje (integral negativa); de 2 a 3, encima

Corte con el eje: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (en $[0, 3]$ ).
Primitiva: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x$ . $F(0) = 0$ , $F(2) = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$ , $F(3) = 9 - 12 = -3$ .
$\int_0^2 = F(2) - F(0) = -\frac{16}{3}$ (negativa: área $\frac{16}{3}$ ).
$\int_2^3 = F(3) - F(2) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$ .
Área $= \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \dfrac{23}{3} \approx 7{,}67$ .

Área entre dos curvas

Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$ , el área encerrada entre ellas es

Sustitución en la integral definida

Si se usa un cambio de variable, ¡hay que cambiar también los límites! Así no hace falta deshacer el cambio.