Problemas de optimización

Para qué sirve esto

Casi cualquier decisión "inteligente" es un problema de optimización: gastar lo mínimo, ganar lo máximo, aprovechar al máximo un material:

¿Qué dimensiones dan la mayor área con una cantidad fija de valla?
¿Cuántas unidades conviene producir para el máximo beneficio?
¿Qué forma de lata gasta menos metal para un volumen dado?

La derivada resuelve todo esto con el mismo método. Lo difícil no es derivar: es traducir el problema a una función. Por eso este capítulo se centra en el planteamiento.

Necesitas: estudio de funciones (capítulo anterior: puntos críticos, máximos y mínimos).

El método

Método paso a pasoMétodo de optimización

Lee y dibuja. Entiende qué se pide y haz un esquema con las cantidades (pon nombre: $x$ , $y$ …).
Función objetivo: escribe la fórmula de lo que quieres maximizar o minimizar (área, volumen, coste, beneficio…).
Restricción: hay datos fijos ("el perímetro es $40$ ", "el volumen es $1000$ ") que relacionan las variables. Úsalos para despejar y dejar la función objetivo con una sola variable.
Dominio: ¿qué valores tienen sentido? (lados positivos, cantidades $\geq 0$ …).
Deriva la función objetivo, resuelve $f' = 0$ y descarta soluciones fuera del dominio.
Comprueba que es máximo o mínimo (segunda derivada, o signos de $f'$ , o comparar con los extremos del dominio).
Responde con todos los datos que se piden y con unidades.

Ejemplo resuelto: la valla junto al río

Ejemplo resueltoUn granjero tiene

100

m de valla y quiere cercar un rectángulo junto a un río (el lado del río no necesita valla). ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Tres lados con valla (x, y, x); el cuarto es el río

Objetivo: maximizar el área $A = x \cdot y$ .
Restricción: la valla mide $100$ : $x + y + x = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$ .
Función con una variable: $A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$ .
Dominio: $x > 0$ y $y > 0$ , es decir, $0 < x < 50$ .
Derivada: $A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$ (está en el dominio).
Comprobación: $A''(x) = -4 < 0$ : es un máximo.
Respuesta: $x = 25$ m, $y = 100 - 50 = 50$ m, y el área máxima es $25 \cdot 50 = 1250$ m $^2$ .

A(x) = x(100 − 2x): el área es máxima con x = 25

Otros problemas típicos

Ejemplo resueltoCaja abierta

Con una lámina cuadrada de $12$ cm de lado se recortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas y se doblan los lados para hacer una caja sin tapa. ¿Qué $x$ da mayor volumen?

Base: cuadrado de lado $12 - 2x$ ; altura $x$ . Volumen: $V(x) = x(12 - 2x)^2$ .
Dominio: $0 < x < 6$ .
$V'(x) = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) = (12 - 2x)\big[(12 - 2x) - 4x\big] = (12 - 2x)(12 - 6x)$ .
$V' = 0 \Rightarrow x = 6$ (fuera del dominio: no hay caja) o $x = 2$ . Vale $x = 2$ .
$V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ cm $^3$ .