Determinantes e inversa

Para qué sirve esto

Un determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y que responde a una pregunta muy útil: ¿esta matriz se puede "deshacer"? Es decir, ¿tiene inversa?

Sirve para:

• Saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única.
• Calcular áreas y volúmenes (el determinante es un área con signo).
• Deshacer transformaciones y resolver ecuaciones con matrices.

Necesitas: matrices (capítulo anterior) y sistemas de ecuaciones (N2).

El determinante de orden 2

Interpretación geométrica: $\left|\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\right|$ es el área del paralelogramo formado por los vectores $(a, b)$ y $(c, d)$. Si el determinante es $0$, los vectores son paralelos y el paralelogramo se "aplasta" (área $0$).

El determinante de orden 3

Regla de Sarrus: se suman los productos de las tres diagonales "hacia abajo a la derecha" y se restan los de las tres "hacia arriba a la derecha" (con las diagonales que "dan la vuelta").

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \big(a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}\big) - \big(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\big)$$

Desarrollo por una fila o columna

Sarrus solo vale para $3 \times 3$. El método general es el desarrollo por cofactores: se elige una fila (o columna), y cada elemento $a_{ij}$ se multiplica por su cofactor $(-1)^{i+j}\,M_{ij}$, donde $M_{ij}$ es el determinante de la matriz que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$.

$$\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \qquad\text{con signos: }\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$$

Propiedades

• Matriz triangular (ceros por encima o por debajo de la diagonal): el determinante es el producto de la diagonal.
• Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
• Multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$; por tanto $\det(kA) = k^n \det A$ ($A$ de orden $n$).
• Dos filas iguales o proporcionales, o una fila de ceros: $\det = 0$.
• $\det(A^T) = \det A$.
• $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

La matriz inversa

Además: $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$.

La inversa de orden 2

(Para matrices más grandes se usa la fórmula con la adjunta, $A^{-1} = \frac{1}{\det A}(\operatorname{Adj} A)^T$, o el método de Gauss-Jordan, que veremos en el capítulo siguiente.)

Resolver ecuaciones matriciales

Como en las ecuaciones normales, "dividimos" multiplicando por la inversa. Pero ¡cuidado con el lado!, porque el producto no es conmutativo:

• $AX = B \ \Rightarrow\ X = A^{-1}B$ (se multiplica por la izquierda).
• $XA = B \ \Rightarrow\ X = BA^{-1}$ (por la derecha).

Errores típicos